Para resolver este problema, vamos a ver cómo los valores conocidos nos ayudan a calcular la distancia que correrá el maratonista en la décima semana.
Primero, vamos a identificar los valores conocidos y desconocidos:
| Concepto | Valor |
|-------------------------|---------------------------|
| a (distancia inicial) | [tex]\( 3 \)[/tex] kilómetros |
| u (incremento semanal) | [tex]\( 2 \)[/tex] kilómetros |
| n (número de semana) | [tex]\( 10 \)[/tex] |
| d (distancia en la semana n) | desconocido |
Ahora, sigamos los pasos para encontrar la distancia en la décima semana.
1. Distancia inicial (a): El maratonista empieza corriendo [tex]\( 3 \)[/tex] kilómetros en la primera semana.
2. Incremento semanal (u): Cada semana incrementa su distancia en [tex]\( 2 \)[/tex] kilómetros.
3. Número de semana (n): Queremos encontrar la distancia en la décima semana ([tex]\( n = 10 \)[/tex]).
El patrón de aumento semanal nos lleva a usar la fórmula de progresión aritmética para calcular la distancia en cualquier semana:
[tex]\[ d_n = a + (n - 1) \cdot u \][/tex]
Donde:
- [tex]\( a \)[/tex] es la distancia inicial.
- [tex]\( u \)[/tex] es el incremento semanal.
- [tex]\( n \)[/tex] es la semana específica cuya distancia queremos calcular.
- [tex]\( d_n \)[/tex] es la distancia en la semana [tex]\( n \)[/tex].
Pongamos los valores en la fórmula:
[tex]\[ d_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot 2 \][/tex]
Primero, calculamos el término dentro del paréntesis:
[tex]\[ 10 - 1 = 9 \][/tex]
Luego multiplicamos por el incremento semanal:
[tex]\[ 9 \cdot 2 = 18 \][/tex]
Finalmente, sumamos la distancia inicial:
[tex]\[ 3 + 18 = 21 \][/tex]
Por lo tanto, la distancia que correrá el maratonista en la décima semana es:
[tex]\[ 21 \][/tex] kilómetros
