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Analiza y determina la fracción generatriz de los siguientes decimales:

I. [tex]0,32=[/tex]
II. [tex]0, \overline{1}=[/tex]
III. [tex]0,2 \overline{3}=[/tex]
IV. [tex]17, \widetilde{36}=[/tex]

Resolución:

Sagot :

GinnyAnswer
Claro, ahora vamos a convertir estos decimales a fracciones generatrices paso a paso:

### I. Convertir 0.32 a fracción

1. El decimal 0.32 se puede escribir como [tex]\( \frac{32}{100} \)[/tex].
2. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su máximo común divisor (MCD), que es 4.

[tex]\[ \frac{32}{100} = \frac{32 \div 4}{100 \div 4} = \frac{8}{25} \][/tex]

Entonces, [tex]\( 0.32 = \frac{8}{25} \)[/tex].

### II. Convertir [tex]\( 0.\overline{1} \)[/tex] (decimal periódico) a fracción

1. Sea [tex]\( x = 0.\overline{1} \)[/tex]. Entonces, [tex]\( x = 0.1111\ldots \)[/tex].
2. Multiplicamos ambos lados por 10 para desplazar el decimal:

[tex]\[ 10x = 1.1111\ldots \][/tex]

3. Restamos [tex]\( x \)[/tex] de [tex]\( 10x \)[/tex]:

[tex]\[ 10x - x = 1.1111\ldots - 0.1111\ldots \][/tex]

4. Esto nos da:

[tex]\[ 9x = 1 \][/tex]

5. Resolviendo para [tex]\( x \)[/tex]:

[tex]\[ x = \frac{1}{9} \][/tex]

Entonces, [tex]\( 0.\overline{1} = \frac{1}{9} \)[/tex].

### III. Convertir [tex]\( 0.2\overline{3} \)[/tex] (decimal periódico mixto) a fracción

1. Sea [tex]\( x = 0.2\overline{3} \)[/tex]. Entonces, [tex]\( x = 0.2333\ldots \)[/tex].
2. Multiplicamos ambos lados por 10 para desplazar el decimal:

[tex]\[ 10x = 2.3333\ldots \][/tex]

3. Multiplicamos ambos lados ahora por 10 para desplazar aún más:

[tex]\[ 100x = 23.3333\ldots \][/tex]

4. Restamos [tex]\( 10x \)[/tex] de [tex]\( 100x \)[/tex]:

[tex]\[ 100x - 10x = 23.3333\ldots - 2.3333\ldots \][/tex]

5. Esto nos da:

[tex]\[ 90x = 21 \][/tex]

6. Resolviendo para [tex]\( x \)[/tex]:

[tex]\[ x = \frac{21}{90} \][/tex]

7. Simplificando la fracción:

[tex]\[ \frac{21}{90} = \frac{21 \div 3}{90 \div 3} = \frac{7}{30} \][/tex]

Entonces, [tex]\( 0.2\overline{3} = \frac{7}{30} \)[/tex].

### IV. Convertir [tex]\( 17. \overline{36} \)[/tex] (decimal periódico mixto) a fracción

1. Sea [tex]\( x = 17.\overline{36} \)[/tex]. Entonces, [tex]\( x = 17.363636\ldots \)[/tex].
2. Multiplicamos ambos lados por 100 para desplazar el decimal:

[tex]\[ 100x = 1736.363636\ldots \][/tex]

3. Restamos [tex]\( x \)[/tex] de [tex]\( 100x \)[/tex]:

[tex]\[ 100x - x = 1736.363636\ldots - 17.363636\ldots \][/tex]

4. Esto nos da:

[tex]\[ 99x = 1719 \][/tex]

5. Resolviendo para [tex]\( x \)[/tex]:

[tex]\[ x = \frac{1719}{99} \][/tex]

6. Simplificando la fracción:

[tex]\[ \frac{1719}{99} = \frac{1719 \div 9}{99 \div 9} = \frac{191}{11} \][/tex]

Entonces, [tex]\( 17. \overline{36} = \frac{191}{11} \)[/tex].

### Resumen

- [tex]\( 0.32 = \frac{8}{25} \)[/tex]
- [tex]\( 0.\overline{1} = \frac{1}{9} \)[/tex]
- [tex]\( 0.2\overline{3} = \frac{7}{30} \)[/tex]
- [tex]\( 17. \overline{36} = \frac{191}{11} \)[/tex]
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