Para resolver la expresión dada [tex]\( B \)[/tex] y encontrar su valor, podemos seguir los siguientes pasos aplicando propiedades de las potencias. La expresión original es:
[tex]\[
B = \frac{7^7 \cdot (-2)^{10} \cdot 7^9 \cdot (-2)^5}{7^{14} \cdot (-2)^{15}}
\][/tex]
Paso 1: Simplificamos la base [tex]\( 7 \)[/tex] usando la propiedad de los exponentes que dice [tex]\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)[/tex].
[tex]\[
7^7 \cdot 7^9 = 7^{7+9} = 7^{16}
\][/tex]
Paso 2: Simplificamos la base [tex]\( -2 \)[/tex] usando la misma propiedad.
[tex]\[
(-2)^{10} \cdot (-2)^5 = (-2)^{10+5} = (-2)^{15}
\][/tex]
Entonces, la expresión queda:
[tex]\[
B = \frac{7^{16} \cdot (-2)^{15}}{7^{14} \cdot (-2)^{15}}
\][/tex]
Paso 3: Ahora, simplificamos la fracción aplicando otra propiedad de los exponentes: [tex]\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)[/tex].
[tex]\[
\frac{7^{16}}{7^{14}} = 7^{16-14} = 7^2
\][/tex]
Para la base [tex]\( -2 \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{(-2)^{15}}{(-2)^{15}} = (-2)^{15-15} = (-2)^0 = 1
\][/tex]
Así que la expresión simplificada es:
[tex]\[
B = 7^2 \cdot 1 = 7^2
\][/tex]
Paso 4: Calculamos el resultado final.
[tex]\[
7^2 = 49
\][/tex]
Por consiguiente:
[tex]\[
B = 49
\][/tex]
Además, calculando los valores intermedios de numerador y denominador de la fracción original, obtenemos:
Numerador:
[tex]\[
7^7 \cdot (-2)^{10} \cdot 7^9 \cdot (-2)^5 = -1088976668904685568
\][/tex]
Denominador:
[tex]\[
7^{14} \cdot (-2)^{15} = -22224013651116032
\][/tex]
El resultado teórico es el mismo porque:
[tex]\[
B = \frac{-1088976668904685568}{-22224013651116032} = 49
\][/tex]
Finalmente, el valor de [tex]\( B \)[/tex] es:
[tex]\[
B = 49
\][/tex]
