Claro, trabajemos en cada uno de los ejercicios por separado:
### Ejercicio V
Dividir el polinomio [tex]$\left(x^3 - 2x^2 - 3x - 5\right)$[/tex] entre [tex]$\left(x^2 - 2\right)$[/tex]:
1. Identificamos el dividendo y el divisor:
- Dividendo: [tex]\(x^3 - 2x^2 - 3x - 5\)[/tex]
- Divisor: [tex]\(x^2 - 2\)[/tex]
2. Realizamos la división polinómica. El cociente de la división de estos polinomios es:
- Cociente: [tex]\(x - 2\)[/tex]
- Resto: [tex]\(-x - 9\)[/tex]
Por lo tanto, el cociente al dividir [tex]\( \left(x^3 - 2x^2 - 3x - 5\right) \)[/tex] entre [tex]\( \left(x^2 - 2\right) \)[/tex] es [tex]\(\boxed{x - 2}\)[/tex], con un residuo de [tex]\(\boxed{-x - 9}\)[/tex].
### Ejercicio VI
Hallar la diferencia de [tex]\(P(x) - U(x)\)[/tex], donde [tex]\(P(x) = 4x^2 - 1\)[/tex] y [tex]\(U(x) = x^2 + 2\)[/tex]:
1. Escribimos los polinomios [tex]\(P(x)\)[/tex] y [tex]\(U(x)\)[/tex]:
- [tex]\(P(x) = 4x^2 - 1\)[/tex]
- [tex]\(U(x) = x^2 + 2\)[/tex]
2. Restamos [tex]\(U(x)\)[/tex] de [tex]\(P(x)\)[/tex]:
[tex]\[
P(x) - U(x) = (4x^2 - 1) - (x^2 + 2)
\][/tex]
3. Simplificamos la expresión:
[tex]\[
4x^2 - 1 - x^2 - 2 = 3x^2 - 3
\][/tex]
Por lo tanto, la diferencia [tex]\(P(x) - U(x)\)[/tex] es [tex]\(\boxed{3x^2 - 3}\)[/tex].
### Ejercicio VII
Reducir los términos semejantes en la expresión [tex]\(7x^2y - 15x^2y + 20x^2y\)[/tex]:
1. Identificamos los términos semejantes y combinamos sus coeficientes:
- [tex]\(7x^2y\)[/tex]
- [tex]\(-15x^2y\)[/tex]
- [tex]\(20x^2y\)[/tex]
2. Sumamos los coeficientes:
[tex]\[
7 - 15 + 20 = 12
\][/tex]
3. Volvemos a escribir el término con el coeficiente combinado:
[tex]\[
12x^2y
\][/tex]
Por lo tanto, al reducir los términos semejantes, el resultado es [tex]\(\boxed{12x^2y}\)[/tex].
Así, hemos resuelto todos los ejercicios planteados.
