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Sagot :
Para hallar el primer y tercer cuartil de la distribución dada, vamos a seguir los siguientes pasos:
1. Calcular la frecuencia acumulada:
- Frecuencia acumulada es la suma de todas las frecuencias hasta el límite superior de un intervalo dado.
- Construimos una tabla de frecuencias acumuladas:
| Peso (Kg) | Frecuencia ([tex]$f$[/tex]) | Frec. Acumulada (CF) |
|-----------|-------------------|----------------------|
| 50-60 | 8 | 8 |
| 60-70 | 10 | 18 |
| 70-80 | 16 | 34 |
| 80-90 | 14 | 48 |
| 90-100 | 10 | 58 |
| 100-110 | 5 | 63 |
| 110-120 | 2 | 65 |
2. Calcular las posiciones de los cuartiles:
- Primero tenemos que calcular la posición de [tex]$Q1$[/tex] y [tex]$Q3$[/tex]:
- La posición de [tex]$Q1$[/tex] (primer cuartil) es el [tex]\( \frac{N}{4} \)[/tex]
[tex]\[ \text{Q1\_pos} = \frac{65}{4} = 16.25 \][/tex]
- La posición de [tex]$Q3$[/tex] (tercer cuartil) es [tex]\( \frac{3N}{4} \)[/tex]
[tex]\[ \text{Q3\_pos} = \frac{3 \times 65}{4} = 48.75 \][/tex]
3. Identificar los intervalos:
- Buscamos en la columna de frecuencia acumulada el primer valor que sea igual o mayor a la posición calculada para [tex]$Q1$[/tex]:
- Para [tex]$Q1\_pos = 16.25$[/tex], el valor acumulado mayor o igual es 18. Esto ocurre en el intervalo 60-70.
- Para [tex]$Q3\_pos = 48.75$[/tex], el valor acumulado mayor o igual es 48. Esto ocurre en el intervalo 90-100.
4. Hallar los cuartiles usando la fórmula para cuartiles en distribuciones agrupadas:
- Fórmula para el cuartil [tex]\( Q_k \)[/tex] es:
[tex]\[ Q_k = L + \left(\frac{n_k - CF}{f}\right) \times h \][/tex]
Donde:
- [tex]\( L \)[/tex] es el límite inferior del intervalo del cuartil.
- [tex]\( n_k \)[/tex] es la posición del cuartil.
- [tex]\( CF \)[/tex] es la frecuencia acumulada anterior al intervalo del cuartil.
- [tex]\( f \)[/tex] es la frecuencia del intervalo del cuartil.
- [tex]\( h \)[/tex] es el tamaño del intervalo de clase.
- Para [tex]$Q1$[/tex] (16.25 en intervalo 60-70):
- Límite inferior [tex]\( L1 = 60 \)[/tex]
- Frecuencia acumulada anterior [tex]\( CF = 8 \)[/tex]
- Frecuencia del intervalo [tex]\( f = 10 \)[/tex]
- Tamaño del intervalo [tex]\( h = 10 \)[/tex]
Entonces:
[tex]\[ Q1 = 60 + \left(\frac{16.25 - 8}{10}\right) \times 10 = 60 + 0.825 \times 10 = 60 + 8.25 = 68.25 \][/tex]
- Para [tex]$Q3$[/tex] (48.75 en intervalo 90-100):
- Límite inferior [tex]\( L3 = 90 \)[/tex]
- Frecuencia acumulada anterior [tex]\( CF = 48 \)[/tex]
- Frecuencia del intervalo [tex]\( f = 10 \)[/tex]
- Tamaño del intervalo [tex]\( h = 10 \)[/tex]
Entonces:
[tex]\[ Q3 = 90 + \left(\frac{48.75 - 48}{10}\right) \times 10 = 90 + 0.075 \times 10 = 90 + 0.75 = 90.75 \][/tex]
### Resumen:
- El primer cuartil ([tex]\(Q1\)[/tex]) es 68.25.
- El tercer cuartil ([tex]\(Q3\)[/tex]) es 90.75.
1. Calcular la frecuencia acumulada:
- Frecuencia acumulada es la suma de todas las frecuencias hasta el límite superior de un intervalo dado.
- Construimos una tabla de frecuencias acumuladas:
| Peso (Kg) | Frecuencia ([tex]$f$[/tex]) | Frec. Acumulada (CF) |
|-----------|-------------------|----------------------|
| 50-60 | 8 | 8 |
| 60-70 | 10 | 18 |
| 70-80 | 16 | 34 |
| 80-90 | 14 | 48 |
| 90-100 | 10 | 58 |
| 100-110 | 5 | 63 |
| 110-120 | 2 | 65 |
2. Calcular las posiciones de los cuartiles:
- Primero tenemos que calcular la posición de [tex]$Q1$[/tex] y [tex]$Q3$[/tex]:
- La posición de [tex]$Q1$[/tex] (primer cuartil) es el [tex]\( \frac{N}{4} \)[/tex]
[tex]\[ \text{Q1\_pos} = \frac{65}{4} = 16.25 \][/tex]
- La posición de [tex]$Q3$[/tex] (tercer cuartil) es [tex]\( \frac{3N}{4} \)[/tex]
[tex]\[ \text{Q3\_pos} = \frac{3 \times 65}{4} = 48.75 \][/tex]
3. Identificar los intervalos:
- Buscamos en la columna de frecuencia acumulada el primer valor que sea igual o mayor a la posición calculada para [tex]$Q1$[/tex]:
- Para [tex]$Q1\_pos = 16.25$[/tex], el valor acumulado mayor o igual es 18. Esto ocurre en el intervalo 60-70.
- Para [tex]$Q3\_pos = 48.75$[/tex], el valor acumulado mayor o igual es 48. Esto ocurre en el intervalo 90-100.
4. Hallar los cuartiles usando la fórmula para cuartiles en distribuciones agrupadas:
- Fórmula para el cuartil [tex]\( Q_k \)[/tex] es:
[tex]\[ Q_k = L + \left(\frac{n_k - CF}{f}\right) \times h \][/tex]
Donde:
- [tex]\( L \)[/tex] es el límite inferior del intervalo del cuartil.
- [tex]\( n_k \)[/tex] es la posición del cuartil.
- [tex]\( CF \)[/tex] es la frecuencia acumulada anterior al intervalo del cuartil.
- [tex]\( f \)[/tex] es la frecuencia del intervalo del cuartil.
- [tex]\( h \)[/tex] es el tamaño del intervalo de clase.
- Para [tex]$Q1$[/tex] (16.25 en intervalo 60-70):
- Límite inferior [tex]\( L1 = 60 \)[/tex]
- Frecuencia acumulada anterior [tex]\( CF = 8 \)[/tex]
- Frecuencia del intervalo [tex]\( f = 10 \)[/tex]
- Tamaño del intervalo [tex]\( h = 10 \)[/tex]
Entonces:
[tex]\[ Q1 = 60 + \left(\frac{16.25 - 8}{10}\right) \times 10 = 60 + 0.825 \times 10 = 60 + 8.25 = 68.25 \][/tex]
- Para [tex]$Q3$[/tex] (48.75 en intervalo 90-100):
- Límite inferior [tex]\( L3 = 90 \)[/tex]
- Frecuencia acumulada anterior [tex]\( CF = 48 \)[/tex]
- Frecuencia del intervalo [tex]\( f = 10 \)[/tex]
- Tamaño del intervalo [tex]\( h = 10 \)[/tex]
Entonces:
[tex]\[ Q3 = 90 + \left(\frac{48.75 - 48}{10}\right) \times 10 = 90 + 0.075 \times 10 = 90 + 0.75 = 90.75 \][/tex]
### Resumen:
- El primer cuartil ([tex]\(Q1\)[/tex]) es 68.25.
- El tercer cuartil ([tex]\(Q3\)[/tex]) es 90.75.
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