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Sagot :
¡Claro! Vamos a resolver este problema paso a paso.
### Paso 1: Entender la relación entre la altura y el radio
Tenemos un cono con una altura de [tex]\(10 \text{ cm}\)[/tex] y un radio de la base de [tex]\(2 \text{ cm}\)[/tex]. Si cortamos el cono horizontalmente a diferentes alturas, cada círculo que se forma tendrá un radio que depende de la altura en la que se corta.
### Paso 2: Determinar la fórmula
El radio [tex]\( r \)[/tex] de los círculos formados a distintas alturas [tex]\( h \)[/tex] se puede encontrar usando una proporción simple. Observamos que el radio se reduce proporcionalmente con la altura.
La relación puede expresarse como:
[tex]\[ r(h) = \text{base radius} \times \left( \frac{h}{\text{height of cone}} \right) \][/tex]
Aquí, el radio en cualquier altura [tex]\( h \)[/tex] es:
[tex]\[ r(h) = 2 \times \left( \frac{h}{10} \right) \][/tex]
### Paso 3: Calcular los radios
Vamos a completar la tabla calculando el radio para cada altura.
- A [tex]\( h = 10 \)[/tex]:
[tex]\[ r(10) = 2 \times \left( \frac{10}{10} \right) = 2 \][/tex]
- A [tex]\( h = 9 \)[/tex]:
[tex]\[ r(9) = 2 \times \left( \frac{9}{10} \right) = 1.8 \][/tex]
- A [tex]\( h = 8 \)[/tex]:
[tex]\[ r(8) = 2 \times \left( \frac{8}{10} \right) = 1.6 \][/tex]
- A [tex]\( h = 7 \)[/tex]:
[tex]\[ r(7) = 2 \times \left( \frac{7}{10} \right) = 1.4 \][/tex]
- A [tex]\( h = 6 \)[/tex]:
[tex]\[ r(6) = 2 \times \left( \frac{6}{10} \right) = 1.2 \][/tex]
- A [tex]\( h = 5 \)[/tex]:
[tex]\[ r(5) = 2 \times \left( \frac{5}{10} \right) = 1 \][/tex]
- A [tex]\( h = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ r(4) = 2 \times \left( \frac{4}{10} \right) = 0.8 \][/tex]
- A [tex]\( h = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ r(3) = 2 \times \left( \frac{3}{10} \right) = 0.6 \][/tex]
- A [tex]\( h = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ r(2) = 2 \times \left( \frac{2}{10} \right) = 0.4 \][/tex]
- A [tex]\( h = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ r(1) = 2 \times \left( \frac{1}{10} \right) = 0.2 \][/tex]
- A [tex]\( h = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ r(0) = 2 \times \left( \frac{0}{10} \right) = 0 \][/tex]
### Paso 4: Completar la tabla
Ahora colocamos estos valores en la tabla:
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
\begin{tabular}{l}
h (altura del \\
cono en cm)
\end{tabular} & 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
\hline
\begin{tabular}{l}
[tex]$r$[/tex] (radio de la \\
base en cm)
\end{tabular} & 2.0 & 1.8 & 1.6 & 1.4 & 1.2 & 1.0 & 0.8 & 0.6 & 0.4 & 0.2 & 0.0 \\
\hline
\end{tabular}
### Paso 5: Graficar la relación
Para la gráfica, dibujamos un sistema de coordenadas cartesianas. En el eje [tex]\( x \)[/tex], representamos la altura [tex]\( h \)[/tex] del cono en centímetros, y en el eje [tex]\( y \)[/tex], representamos el radio [tex]\( r \)[/tex] en centímetros.
- Trazamos puntos para cada par [tex]\((h, r)\)[/tex]:
[tex]\((10, 2.0)\)[/tex], [tex]\((9, 1.8)\)[/tex], [tex]\((8, 1.6)\)[/tex], [tex]\((7, 1.4)\)[/tex], [tex]\((6, 1.2)\)[/tex], [tex]\((5, 1.0)\)[/tex], [tex]\((4, 0.8)\)[/tex], [tex]\((3, 0.6)\)[/tex], [tex]\((2, 0.4)\)[/tex], [tex]\((1, 0.2)\)[/tex], [tex]\((0, 0.0)\)[/tex]
- Unimos todos los puntos con una línea recta que desciende desde [tex]\((10, 2.0)\)[/tex] hasta [tex]\((0, 0.0)\)[/tex].
Esta gráfica mostraría una línea recta decreciente que indica la disminución proporcional del radio con respecto a la altura del corte desde la base del cono hasta su vértice.
### Paso 1: Entender la relación entre la altura y el radio
Tenemos un cono con una altura de [tex]\(10 \text{ cm}\)[/tex] y un radio de la base de [tex]\(2 \text{ cm}\)[/tex]. Si cortamos el cono horizontalmente a diferentes alturas, cada círculo que se forma tendrá un radio que depende de la altura en la que se corta.
### Paso 2: Determinar la fórmula
El radio [tex]\( r \)[/tex] de los círculos formados a distintas alturas [tex]\( h \)[/tex] se puede encontrar usando una proporción simple. Observamos que el radio se reduce proporcionalmente con la altura.
La relación puede expresarse como:
[tex]\[ r(h) = \text{base radius} \times \left( \frac{h}{\text{height of cone}} \right) \][/tex]
Aquí, el radio en cualquier altura [tex]\( h \)[/tex] es:
[tex]\[ r(h) = 2 \times \left( \frac{h}{10} \right) \][/tex]
### Paso 3: Calcular los radios
Vamos a completar la tabla calculando el radio para cada altura.
- A [tex]\( h = 10 \)[/tex]:
[tex]\[ r(10) = 2 \times \left( \frac{10}{10} \right) = 2 \][/tex]
- A [tex]\( h = 9 \)[/tex]:
[tex]\[ r(9) = 2 \times \left( \frac{9}{10} \right) = 1.8 \][/tex]
- A [tex]\( h = 8 \)[/tex]:
[tex]\[ r(8) = 2 \times \left( \frac{8}{10} \right) = 1.6 \][/tex]
- A [tex]\( h = 7 \)[/tex]:
[tex]\[ r(7) = 2 \times \left( \frac{7}{10} \right) = 1.4 \][/tex]
- A [tex]\( h = 6 \)[/tex]:
[tex]\[ r(6) = 2 \times \left( \frac{6}{10} \right) = 1.2 \][/tex]
- A [tex]\( h = 5 \)[/tex]:
[tex]\[ r(5) = 2 \times \left( \frac{5}{10} \right) = 1 \][/tex]
- A [tex]\( h = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ r(4) = 2 \times \left( \frac{4}{10} \right) = 0.8 \][/tex]
- A [tex]\( h = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ r(3) = 2 \times \left( \frac{3}{10} \right) = 0.6 \][/tex]
- A [tex]\( h = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ r(2) = 2 \times \left( \frac{2}{10} \right) = 0.4 \][/tex]
- A [tex]\( h = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ r(1) = 2 \times \left( \frac{1}{10} \right) = 0.2 \][/tex]
- A [tex]\( h = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ r(0) = 2 \times \left( \frac{0}{10} \right) = 0 \][/tex]
### Paso 4: Completar la tabla
Ahora colocamos estos valores en la tabla:
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
\begin{tabular}{l}
h (altura del \\
cono en cm)
\end{tabular} & 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
\hline
\begin{tabular}{l}
[tex]$r$[/tex] (radio de la \\
base en cm)
\end{tabular} & 2.0 & 1.8 & 1.6 & 1.4 & 1.2 & 1.0 & 0.8 & 0.6 & 0.4 & 0.2 & 0.0 \\
\hline
\end{tabular}
### Paso 5: Graficar la relación
Para la gráfica, dibujamos un sistema de coordenadas cartesianas. En el eje [tex]\( x \)[/tex], representamos la altura [tex]\( h \)[/tex] del cono en centímetros, y en el eje [tex]\( y \)[/tex], representamos el radio [tex]\( r \)[/tex] en centímetros.
- Trazamos puntos para cada par [tex]\((h, r)\)[/tex]:
[tex]\((10, 2.0)\)[/tex], [tex]\((9, 1.8)\)[/tex], [tex]\((8, 1.6)\)[/tex], [tex]\((7, 1.4)\)[/tex], [tex]\((6, 1.2)\)[/tex], [tex]\((5, 1.0)\)[/tex], [tex]\((4, 0.8)\)[/tex], [tex]\((3, 0.6)\)[/tex], [tex]\((2, 0.4)\)[/tex], [tex]\((1, 0.2)\)[/tex], [tex]\((0, 0.0)\)[/tex]
- Unimos todos los puntos con una línea recta que desciende desde [tex]\((10, 2.0)\)[/tex] hasta [tex]\((0, 0.0)\)[/tex].
Esta gráfica mostraría una línea recta decreciente que indica la disminución proporcional del radio con respecto a la altura del corte desde la base del cono hasta su vértice.
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