Para resolver este problema, utilizaremos la ley de la gravitación universal de Newton, que se expresa con la fórmula:
[tex]\[ F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} \][/tex]
Donde:
- [tex]\( F \)[/tex] es la fuerza de atracción gravitacional entre las dos partículas.
- [tex]\( G \)[/tex] es la constante de gravitación universal [tex]\( 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2} \)[/tex].
- [tex]\( m_1 \)[/tex] y [tex]\( m_2 \)[/tex] son las masas de las partículas.
- [tex]\( r \)[/tex] es la distancia entre las dos partículas que queremos determinar.
Dado:
- [tex]\( m_1 = 33 \times 10^{-3} \, \text{kg} \)[/tex]
- [tex]\( m_2 = 89 \times 10^{-5} \, \text{kg} \)[/tex]
- [tex]\( F = 544.16 \times 10^{-23} \, \text{N} \)[/tex]
1. Convertimos valores para facilitar el cálculo:
[tex]\( m_1 = 0.033 \, \text{kg} \)[/tex]
[tex]\( m_2 = 0.00089 \, \text{kg} \)[/tex]
[tex]\( F = 5.4416 \times 10^{-21} \, \text{N} \)[/tex]
2. Reordenamos la fórmula para despejar [tex]\( r^2 \)[/tex]:
[tex]\[
r^2 = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{F}
\][/tex]
3. Sustituimos los valores conocidos en la fórmula:
[tex]\[
r^2 = \frac{6.67430 \times 10^{-11} \, \text{m}^3 \text{kg}^{-1} \text{s}^{-2} \cdot 0.033 \, \text{kg} \cdot 0.00089 \, \text{kg}}{5.4416 \times 10^{-21} \, \text{N}}
\][/tex]
Después de realizar las operaciones, tenemos:
[tex]\[
r^2 = 360232.63562187593 \, \text{m}^2
\][/tex]
4. Obtenemos [tex]\( r \)[/tex] tomando la raíz cuadrada de [tex]\( r^2 \)[/tex]:
[tex]\[
r = \sqrt{360232.63562187593}
\][/tex]
[tex]\[
r \approx 600.193831709287 \, \text{m}
\][/tex]
5. Resultado final:
La distancia que separa a las dos partículas es aproximadamente [tex]\( 600.19 \, \text{m} \)[/tex].
Esto concluye nuestra solución para el problema dado.
