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Sagot :
Claro, vamos a resolver el ejercicio paso a paso para encontrar el vértice, el foco, el eje de simetría y la directriz de la parábola dada por la ecuación [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex].
### Paso 1: Identificación de la forma estándar
La ecuación dada [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex] es de la forma:
[tex]\[ (x - h)^2 = 4p(y - k) \][/tex]
donde [tex]\((h, k)\)[/tex] es el vértice y [tex]\(p\)[/tex] determina la distancia del vértice al foco y la directriz de la parábola.
### Paso 2: Determinación del vértice
En la ecuación [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex], podemos comparar los términos:
[tex]\[ (x - (-3))^2 = 4 \cdot 1 (y - (-4)) \][/tex]
De esto, podemos identificar los valores de [tex]\(h\)[/tex] y [tex]\(k\)[/tex]:
[tex]\[ h = -3 \quad \text{y} \quad k = -4 \][/tex]
Por lo tanto, el vértice de la parábola es:
[tex]\[ (-3, -4) \][/tex]
### Paso 3: Determinación del valor de [tex]\(p\)[/tex]
Dado que la ecuación tiene [tex]\(4p\)[/tex] frente a [tex]\(y - k\)[/tex], y en nuestro caso [tex]\(4p = 4\)[/tex], entonces:
[tex]\[ p = 1 \][/tex]
### Paso 4: Determinación del foco
El foco de una parábola dada por [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex] se encuentra a una distancia [tex]\(p\)[/tex] del vértice en la dirección de la abertura de la parábola. Como nuestra parábola se abre hacia arriba y [tex]\(p = 1\)[/tex], sumamos [tex]\(p\)[/tex] a la coordenada [tex]\(y\)[/tex] del vértice.
De esto, obtenemos que las coordenadas del foco son:
[tex]\[ (h, k + p) = (-3, -4 + 1) = (-3, -3) \][/tex]
### Paso 5: Determinación del eje de simetría
El eje de simetría de una parábola de la forma [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex] es la línea vertical que pasa por el vértice. Dado que nuestro vértice es [tex]\((-3, -4)\)[/tex], el eje de simetría es:
[tex]\[ x = -3 \][/tex]
### Paso 6: Determinación de la directriz
La directriz de una parábola [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex] es una línea horizontal a una distancia [tex]\(p\)[/tex] del vértice en dirección contraria a la abertura de la parábola. Como la parábola se abre hacia arriba, la directriz estará [tex]\(p\)[/tex] unidades por debajo del vértice.
Entonces, la ecuación de la directriz es:
[tex]\[ y = k - p = -4 - 1 = -5 \][/tex]
### Resumen final de los resultados
- Vértice: [tex]\((-3, -4)\)[/tex]
- Foco: [tex]\((-3, -3)\)[/tex]
- Eje de simetría: [tex]\(x = -3\)[/tex]
- Directriz: [tex]\(y = -5\)[/tex]
Así, la respuesta completa para la parábola [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex] es:
- Vértice: [tex]\((-3, -4)\)[/tex]
- Foco: [tex]\((-3, -3)\)[/tex]
- Eje de simetría: [tex]\(x = -3\)[/tex]
- Directriz: [tex]\(y = -5\)[/tex]
### Paso 1: Identificación de la forma estándar
La ecuación dada [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex] es de la forma:
[tex]\[ (x - h)^2 = 4p(y - k) \][/tex]
donde [tex]\((h, k)\)[/tex] es el vértice y [tex]\(p\)[/tex] determina la distancia del vértice al foco y la directriz de la parábola.
### Paso 2: Determinación del vértice
En la ecuación [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex], podemos comparar los términos:
[tex]\[ (x - (-3))^2 = 4 \cdot 1 (y - (-4)) \][/tex]
De esto, podemos identificar los valores de [tex]\(h\)[/tex] y [tex]\(k\)[/tex]:
[tex]\[ h = -3 \quad \text{y} \quad k = -4 \][/tex]
Por lo tanto, el vértice de la parábola es:
[tex]\[ (-3, -4) \][/tex]
### Paso 3: Determinación del valor de [tex]\(p\)[/tex]
Dado que la ecuación tiene [tex]\(4p\)[/tex] frente a [tex]\(y - k\)[/tex], y en nuestro caso [tex]\(4p = 4\)[/tex], entonces:
[tex]\[ p = 1 \][/tex]
### Paso 4: Determinación del foco
El foco de una parábola dada por [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex] se encuentra a una distancia [tex]\(p\)[/tex] del vértice en la dirección de la abertura de la parábola. Como nuestra parábola se abre hacia arriba y [tex]\(p = 1\)[/tex], sumamos [tex]\(p\)[/tex] a la coordenada [tex]\(y\)[/tex] del vértice.
De esto, obtenemos que las coordenadas del foco son:
[tex]\[ (h, k + p) = (-3, -4 + 1) = (-3, -3) \][/tex]
### Paso 5: Determinación del eje de simetría
El eje de simetría de una parábola de la forma [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex] es la línea vertical que pasa por el vértice. Dado que nuestro vértice es [tex]\((-3, -4)\)[/tex], el eje de simetría es:
[tex]\[ x = -3 \][/tex]
### Paso 6: Determinación de la directriz
La directriz de una parábola [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex] es una línea horizontal a una distancia [tex]\(p\)[/tex] del vértice en dirección contraria a la abertura de la parábola. Como la parábola se abre hacia arriba, la directriz estará [tex]\(p\)[/tex] unidades por debajo del vértice.
Entonces, la ecuación de la directriz es:
[tex]\[ y = k - p = -4 - 1 = -5 \][/tex]
### Resumen final de los resultados
- Vértice: [tex]\((-3, -4)\)[/tex]
- Foco: [tex]\((-3, -3)\)[/tex]
- Eje de simetría: [tex]\(x = -3\)[/tex]
- Directriz: [tex]\(y = -5\)[/tex]
Así, la respuesta completa para la parábola [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex] es:
- Vértice: [tex]\((-3, -4)\)[/tex]
- Foco: [tex]\((-3, -3)\)[/tex]
- Eje de simetría: [tex]\(x = -3\)[/tex]
- Directriz: [tex]\(y = -5\)[/tex]
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