Explore Westonci.ca, the leading Q&A site where experts provide accurate and helpful answers to all your questions. Get immediate and reliable answers to your questions from a community of experienced professionals on our platform. Experience the ease of finding precise answers to your questions from a knowledgeable community of experts.
Sagot :
Claro, vamos a resolver el ejercicio paso a paso para encontrar el vértice, el foco, el eje de simetría y la directriz de la parábola dada por la ecuación [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex].
### Paso 1: Identificación de la forma estándar
La ecuación dada [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex] es de la forma:
[tex]\[ (x - h)^2 = 4p(y - k) \][/tex]
donde [tex]\((h, k)\)[/tex] es el vértice y [tex]\(p\)[/tex] determina la distancia del vértice al foco y la directriz de la parábola.
### Paso 2: Determinación del vértice
En la ecuación [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex], podemos comparar los términos:
[tex]\[ (x - (-3))^2 = 4 \cdot 1 (y - (-4)) \][/tex]
De esto, podemos identificar los valores de [tex]\(h\)[/tex] y [tex]\(k\)[/tex]:
[tex]\[ h = -3 \quad \text{y} \quad k = -4 \][/tex]
Por lo tanto, el vértice de la parábola es:
[tex]\[ (-3, -4) \][/tex]
### Paso 3: Determinación del valor de [tex]\(p\)[/tex]
Dado que la ecuación tiene [tex]\(4p\)[/tex] frente a [tex]\(y - k\)[/tex], y en nuestro caso [tex]\(4p = 4\)[/tex], entonces:
[tex]\[ p = 1 \][/tex]
### Paso 4: Determinación del foco
El foco de una parábola dada por [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex] se encuentra a una distancia [tex]\(p\)[/tex] del vértice en la dirección de la abertura de la parábola. Como nuestra parábola se abre hacia arriba y [tex]\(p = 1\)[/tex], sumamos [tex]\(p\)[/tex] a la coordenada [tex]\(y\)[/tex] del vértice.
De esto, obtenemos que las coordenadas del foco son:
[tex]\[ (h, k + p) = (-3, -4 + 1) = (-3, -3) \][/tex]
### Paso 5: Determinación del eje de simetría
El eje de simetría de una parábola de la forma [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex] es la línea vertical que pasa por el vértice. Dado que nuestro vértice es [tex]\((-3, -4)\)[/tex], el eje de simetría es:
[tex]\[ x = -3 \][/tex]
### Paso 6: Determinación de la directriz
La directriz de una parábola [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex] es una línea horizontal a una distancia [tex]\(p\)[/tex] del vértice en dirección contraria a la abertura de la parábola. Como la parábola se abre hacia arriba, la directriz estará [tex]\(p\)[/tex] unidades por debajo del vértice.
Entonces, la ecuación de la directriz es:
[tex]\[ y = k - p = -4 - 1 = -5 \][/tex]
### Resumen final de los resultados
- Vértice: [tex]\((-3, -4)\)[/tex]
- Foco: [tex]\((-3, -3)\)[/tex]
- Eje de simetría: [tex]\(x = -3\)[/tex]
- Directriz: [tex]\(y = -5\)[/tex]
Así, la respuesta completa para la parábola [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex] es:
- Vértice: [tex]\((-3, -4)\)[/tex]
- Foco: [tex]\((-3, -3)\)[/tex]
- Eje de simetría: [tex]\(x = -3\)[/tex]
- Directriz: [tex]\(y = -5\)[/tex]
### Paso 1: Identificación de la forma estándar
La ecuación dada [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex] es de la forma:
[tex]\[ (x - h)^2 = 4p(y - k) \][/tex]
donde [tex]\((h, k)\)[/tex] es el vértice y [tex]\(p\)[/tex] determina la distancia del vértice al foco y la directriz de la parábola.
### Paso 2: Determinación del vértice
En la ecuación [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex], podemos comparar los términos:
[tex]\[ (x - (-3))^2 = 4 \cdot 1 (y - (-4)) \][/tex]
De esto, podemos identificar los valores de [tex]\(h\)[/tex] y [tex]\(k\)[/tex]:
[tex]\[ h = -3 \quad \text{y} \quad k = -4 \][/tex]
Por lo tanto, el vértice de la parábola es:
[tex]\[ (-3, -4) \][/tex]
### Paso 3: Determinación del valor de [tex]\(p\)[/tex]
Dado que la ecuación tiene [tex]\(4p\)[/tex] frente a [tex]\(y - k\)[/tex], y en nuestro caso [tex]\(4p = 4\)[/tex], entonces:
[tex]\[ p = 1 \][/tex]
### Paso 4: Determinación del foco
El foco de una parábola dada por [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex] se encuentra a una distancia [tex]\(p\)[/tex] del vértice en la dirección de la abertura de la parábola. Como nuestra parábola se abre hacia arriba y [tex]\(p = 1\)[/tex], sumamos [tex]\(p\)[/tex] a la coordenada [tex]\(y\)[/tex] del vértice.
De esto, obtenemos que las coordenadas del foco son:
[tex]\[ (h, k + p) = (-3, -4 + 1) = (-3, -3) \][/tex]
### Paso 5: Determinación del eje de simetría
El eje de simetría de una parábola de la forma [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex] es la línea vertical que pasa por el vértice. Dado que nuestro vértice es [tex]\((-3, -4)\)[/tex], el eje de simetría es:
[tex]\[ x = -3 \][/tex]
### Paso 6: Determinación de la directriz
La directriz de una parábola [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex] es una línea horizontal a una distancia [tex]\(p\)[/tex] del vértice en dirección contraria a la abertura de la parábola. Como la parábola se abre hacia arriba, la directriz estará [tex]\(p\)[/tex] unidades por debajo del vértice.
Entonces, la ecuación de la directriz es:
[tex]\[ y = k - p = -4 - 1 = -5 \][/tex]
### Resumen final de los resultados
- Vértice: [tex]\((-3, -4)\)[/tex]
- Foco: [tex]\((-3, -3)\)[/tex]
- Eje de simetría: [tex]\(x = -3\)[/tex]
- Directriz: [tex]\(y = -5\)[/tex]
Así, la respuesta completa para la parábola [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex] es:
- Vértice: [tex]\((-3, -4)\)[/tex]
- Foco: [tex]\((-3, -3)\)[/tex]
- Eje de simetría: [tex]\(x = -3\)[/tex]
- Directriz: [tex]\(y = -5\)[/tex]
We hope our answers were helpful. Return anytime for more information and answers to any other questions you may have. We hope you found this helpful. Feel free to come back anytime for more accurate answers and updated information. We're dedicated to helping you find the answers you need at Westonci.ca. Don't hesitate to return for more.
