Welcome to Westonci.ca, your ultimate destination for finding answers to a wide range of questions from experts. Get expert answers to your questions quickly and accurately from our dedicated community of professionals. Join our platform to connect with experts ready to provide precise answers to your questions in different areas.
Sagot :
Claro, vamos a resolver el ejercicio paso a paso para encontrar el vértice, el foco, el eje de simetría y la directriz de la parábola dada por la ecuación [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex].
### Paso 1: Identificación de la forma estándar
La ecuación dada [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex] es de la forma:
[tex]\[ (x - h)^2 = 4p(y - k) \][/tex]
donde [tex]\((h, k)\)[/tex] es el vértice y [tex]\(p\)[/tex] determina la distancia del vértice al foco y la directriz de la parábola.
### Paso 2: Determinación del vértice
En la ecuación [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex], podemos comparar los términos:
[tex]\[ (x - (-3))^2 = 4 \cdot 1 (y - (-4)) \][/tex]
De esto, podemos identificar los valores de [tex]\(h\)[/tex] y [tex]\(k\)[/tex]:
[tex]\[ h = -3 \quad \text{y} \quad k = -4 \][/tex]
Por lo tanto, el vértice de la parábola es:
[tex]\[ (-3, -4) \][/tex]
### Paso 3: Determinación del valor de [tex]\(p\)[/tex]
Dado que la ecuación tiene [tex]\(4p\)[/tex] frente a [tex]\(y - k\)[/tex], y en nuestro caso [tex]\(4p = 4\)[/tex], entonces:
[tex]\[ p = 1 \][/tex]
### Paso 4: Determinación del foco
El foco de una parábola dada por [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex] se encuentra a una distancia [tex]\(p\)[/tex] del vértice en la dirección de la abertura de la parábola. Como nuestra parábola se abre hacia arriba y [tex]\(p = 1\)[/tex], sumamos [tex]\(p\)[/tex] a la coordenada [tex]\(y\)[/tex] del vértice.
De esto, obtenemos que las coordenadas del foco son:
[tex]\[ (h, k + p) = (-3, -4 + 1) = (-3, -3) \][/tex]
### Paso 5: Determinación del eje de simetría
El eje de simetría de una parábola de la forma [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex] es la línea vertical que pasa por el vértice. Dado que nuestro vértice es [tex]\((-3, -4)\)[/tex], el eje de simetría es:
[tex]\[ x = -3 \][/tex]
### Paso 6: Determinación de la directriz
La directriz de una parábola [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex] es una línea horizontal a una distancia [tex]\(p\)[/tex] del vértice en dirección contraria a la abertura de la parábola. Como la parábola se abre hacia arriba, la directriz estará [tex]\(p\)[/tex] unidades por debajo del vértice.
Entonces, la ecuación de la directriz es:
[tex]\[ y = k - p = -4 - 1 = -5 \][/tex]
### Resumen final de los resultados
- Vértice: [tex]\((-3, -4)\)[/tex]
- Foco: [tex]\((-3, -3)\)[/tex]
- Eje de simetría: [tex]\(x = -3\)[/tex]
- Directriz: [tex]\(y = -5\)[/tex]
Así, la respuesta completa para la parábola [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex] es:
- Vértice: [tex]\((-3, -4)\)[/tex]
- Foco: [tex]\((-3, -3)\)[/tex]
- Eje de simetría: [tex]\(x = -3\)[/tex]
- Directriz: [tex]\(y = -5\)[/tex]
### Paso 1: Identificación de la forma estándar
La ecuación dada [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex] es de la forma:
[tex]\[ (x - h)^2 = 4p(y - k) \][/tex]
donde [tex]\((h, k)\)[/tex] es el vértice y [tex]\(p\)[/tex] determina la distancia del vértice al foco y la directriz de la parábola.
### Paso 2: Determinación del vértice
En la ecuación [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex], podemos comparar los términos:
[tex]\[ (x - (-3))^2 = 4 \cdot 1 (y - (-4)) \][/tex]
De esto, podemos identificar los valores de [tex]\(h\)[/tex] y [tex]\(k\)[/tex]:
[tex]\[ h = -3 \quad \text{y} \quad k = -4 \][/tex]
Por lo tanto, el vértice de la parábola es:
[tex]\[ (-3, -4) \][/tex]
### Paso 3: Determinación del valor de [tex]\(p\)[/tex]
Dado que la ecuación tiene [tex]\(4p\)[/tex] frente a [tex]\(y - k\)[/tex], y en nuestro caso [tex]\(4p = 4\)[/tex], entonces:
[tex]\[ p = 1 \][/tex]
### Paso 4: Determinación del foco
El foco de una parábola dada por [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex] se encuentra a una distancia [tex]\(p\)[/tex] del vértice en la dirección de la abertura de la parábola. Como nuestra parábola se abre hacia arriba y [tex]\(p = 1\)[/tex], sumamos [tex]\(p\)[/tex] a la coordenada [tex]\(y\)[/tex] del vértice.
De esto, obtenemos que las coordenadas del foco son:
[tex]\[ (h, k + p) = (-3, -4 + 1) = (-3, -3) \][/tex]
### Paso 5: Determinación del eje de simetría
El eje de simetría de una parábola de la forma [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex] es la línea vertical que pasa por el vértice. Dado que nuestro vértice es [tex]\((-3, -4)\)[/tex], el eje de simetría es:
[tex]\[ x = -3 \][/tex]
### Paso 6: Determinación de la directriz
La directriz de una parábola [tex]\((x - h)^2 = 4p(y - k)\)[/tex] es una línea horizontal a una distancia [tex]\(p\)[/tex] del vértice en dirección contraria a la abertura de la parábola. Como la parábola se abre hacia arriba, la directriz estará [tex]\(p\)[/tex] unidades por debajo del vértice.
Entonces, la ecuación de la directriz es:
[tex]\[ y = k - p = -4 - 1 = -5 \][/tex]
### Resumen final de los resultados
- Vértice: [tex]\((-3, -4)\)[/tex]
- Foco: [tex]\((-3, -3)\)[/tex]
- Eje de simetría: [tex]\(x = -3\)[/tex]
- Directriz: [tex]\(y = -5\)[/tex]
Así, la respuesta completa para la parábola [tex]\((x+3)^2 = 4(y+4)\)[/tex] es:
- Vértice: [tex]\((-3, -4)\)[/tex]
- Foco: [tex]\((-3, -3)\)[/tex]
- Eje de simetría: [tex]\(x = -3\)[/tex]
- Directriz: [tex]\(y = -5\)[/tex]
Thanks for stopping by. We are committed to providing the best answers for all your questions. See you again soon. We hope this was helpful. Please come back whenever you need more information or answers to your queries. Discover more at Westonci.ca. Return for the latest expert answers and updates on various topics.
