Para calcular o volume de um prisma com base triangular regular, seguimos os passos abaixo:
1. Identificar os parâmetros dados:
- Raio do círculo circunscrito ao triângulo equilátero: [tex]\( R = 3 \, \text{cm} \)[/tex]
- Altura do prisma: [tex]\( h = 8 \, \text{cm} \)[/tex]
2. Determinar a relação entre o raio circunscrito e o lado do triângulo equilátero:
No caso de um triângulo equilátero, o raio circunscrito [tex]\( R \)[/tex] está relacionado com o lado do triângulo [tex]\( a \)[/tex] pela seguinte fórmula:
[tex]\[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
\][/tex]
Substituindo o valor do raio:
[tex]\[
3 = \frac{a}{\sqrt{3}}
\][/tex]
[tex]\[
a = 3\sqrt{3}
\][/tex]
3. Calcular a área da base do prisma (triângulo equilátero):
A área [tex]\( A \)[/tex] de um triângulo equilátero é dada pela fórmula:
[tex]\[
A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2
\][/tex]
Substituindo o valor de [tex]\( a \)[/tex]:
[tex]\[
A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (3\sqrt{3})^2
\][/tex]
[tex]\[
A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 27
\][/tex]
[tex]\[
A = \frac{27\sqrt{3}}{4}
\][/tex]
4. Calcular o volume do prisma:
O volume [tex]\( V \)[/tex] de um prisma é dado pelo produto da área da base [tex]\( A \)[/tex] pela altura [tex]\( h \)[/tex]:
[tex]\[
V = A \cdot h
\][/tex]
[tex]\[
V = \frac{27\sqrt{3}}{4} \cdot 8
\][/tex]
[tex]\[
V = \frac{216\sqrt{3}}{4}
\][/tex]
[tex]\[
V = 54\sqrt{3}
\][/tex]
Portanto, o volume do prisma é [tex]\( 54\sqrt{3} \, \text{cm}^3 \)[/tex]. No entanto, observamos que o valor [tex]\( 54\sqrt{3} \, \text{cm}^3 \)[/tex] não bate com nenhuma das opções listadas na pergunta. Isto sugere que possa haver alguma diferença ou talvez um erro na problematização/disponibilização das opções.
Mas analisando o procedimento e lógica adotada, o resultado numérico correto mantido deveria permanecer [tex]\(54\sqrt{3} \)[/tex].
Entretanto, sem erro mecânico, das opções indicadas, veja que a mais próxima, mas imprecisamente seria não correspondendo corretamente pelos valores listados.
