Para determinar el valor entero de [tex]\( n \)[/tex] que hace que el intervalo [tex]\( S = \left\langle 2-\frac{1}{n} ; 1+\frac{1}{n}\right\rangle \)[/tex] no sea nulo (es decir, que no esté vacío), necesitamos que el extremo izquierdo del intervalo sea menor que el extremo derecho. Es decir, debemos asegurarnos de que:
[tex]\[ 2-\frac{1}{n} < 1+\frac{1}{n} \][/tex]
Vamos a resolver esta desigualdad paso a paso.
1. Iniciamos escribiendo la desigualdad:
[tex]\[ 2 - \frac{1}{n} < 1 + \frac{1}{n} \][/tex]
2. Restamos 1 a ambos lados de la desigualdad:
[tex]\[ 2 - 1 - \frac{1}{n} < 1 - 1 + \frac{1}{n} \][/tex]
3. Simplificamos los términos:
[tex]\[ 1 - \frac{1}{n} < \frac{1}{n} \][/tex]
4. Sumamos [tex]\(\frac{1}{n}\)[/tex] a ambos lados para eliminar el término negativo del lado izquierdo:
[tex]\[ 1 < \frac{1}{n} + \frac{1}{n} \][/tex]
5. Simplificamos la suma de fracciones en el lado derecho:
[tex]\[ 1 < \frac{2}{n} \][/tex]
6. Multiplicamos ambos lados de la desigualdad por [tex]\( n \)[/tex] (dado que [tex]\( n \)[/tex] es positivo, la dirección de la desigualdad no cambia):
[tex]\[ n < 2 \][/tex]
7. El valor entero positivo de [tex]\( n \)[/tex] que satisface esta desigualdad es:
[tex]\[ n = 1 \][/tex]
Entonces, la respuesta correcta es 1, por lo que el valor de [tex]\( n \)[/tex] que permite que el intervalo [tex]\( S = \left\langle 2-\frac{1}{n} ; 1+\frac{1}{n}\right\rangle \)[/tex] sea no nulo es [tex]\( n = 1 \)[/tex].
La opción correcta es b) 1.
