Westonci.ca is your trusted source for finding answers to a wide range of questions, backed by a knowledgeable community. Ask your questions and receive detailed answers from professionals with extensive experience in various fields. Get precise and detailed answers to your questions from a knowledgeable community of experts on our Q&A platform.
Sagot :
Para resolver este problema, vamos a determinar las ecuaciones de las mediatrices de los lados del triángulo y encontrar el circuncentro, es decir, el punto donde se intersectan estas mediatrices. Las mediatrices son las rectas perpendiculares a los lados del triángulo que pasan por los puntos medios de estos lados.
### Paso 1: Calcular los puntos medios de los lados del triángulo
Dado un segmento con extremos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex], el punto medio viene dado por:
[tex]\[ M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \][/tex]
Aplicamos esto a cada lado:
1. Lado [tex]\(AB\)[/tex]:
[tex]\[ M_{AB} = \left(\frac{3 + 4}{2}, \frac{5 + (-1)}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{4}{2}\right) = \left(3.5, 2\right) \][/tex]
2. Lado [tex]\(BC\)[/tex]:
[tex]\[ M_{BC} = \left(\frac{4 + (-4)}{2}, \frac{-1 + 1}{2}\right) = \left(\frac{0}{2}, \frac{0}{2}\right) = \left(0, 0\right) \][/tex]
3. Lado [tex]\(CA\)[/tex]:
[tex]\[ M_{CA} = \left(\frac{-4 + 3}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) = \left(\frac{-1}{2}, \frac{6}{2}\right) = \left(-0.5, 3\right) \][/tex]
### Paso 2: Calcular las pendientes de los lados
Dado un segmento con extremos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex], la pendiente [tex]\(m\)[/tex] viene dada por:
[tex]\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \][/tex]
Aplicamos esto a cada lado:
1. Lado [tex]\(AB\)[/tex]:
[tex]\[ m_{AB} = \frac{-1 - 5}{4 - 3} = \frac{-6}{1} = -6 \][/tex]
2. Lado [tex]\(BC\)[/tex]:
[tex]\[ m_{BC} = \frac{1 - (-1)}{-4 - 4} = \frac{2}{-8} = -0.25 \][/tex]
3. Lado [tex]\(CA\)[/tex]:
[tex]\[ m_{CA} = \frac{5 - 1}{3 - (-4)} = \frac{4}{7} \approx 0.571 \][/tex]
### Paso 3: Calcular las pendientes de las mediatrices
Las mediatrices son perpendiculares a los lados, por lo que sus pendientes son los inversos negativos de las pendientes de los lados:
1. Mediana de [tex]\(AB\)[/tex]:
[tex]\[ m_{\perp AB} = -\frac{1}{-6} = \frac{1}{6} \approx 0.167 \][/tex]
2. Mediana de [tex]\(BC\)[/tex]:
[tex]\[ m_{\perp BC} = -\frac{1}{-0.25} = 4 \][/tex]
3. Mediana de [tex]\(CA\)[/tex]:
[tex]\[ m_{\perp CA} = -\frac{1}{0.571} \approx -1.75 \][/tex]
### Paso 4: Hallar las ecuaciones de las mediatrices
Para encontrar la ecuación de una recta en la forma [tex]\(y = mx + b\)[/tex], necesitamos la pendiente y un punto que pertenece a la recta. Aquí usamos los puntos medios calculados y las pendientes perpendiculares:
1. Mediana de [tex]\(AB\)[/tex]:
[tex]\[ y - 2 = 0.167(x - 3.5) \][/tex]
[tex]\[ y = 0.167x - 0.585 + 2 \approx 0.167x + 1.415 \][/tex]
[tex]\[ \text{Ecuación: } y = 0.167x + 1.416 \][/tex]
2. Mediana de [tex]\(BC\)[/tex]:
[tex]\[ y - 0 = 4(x - 0) \][/tex]
[tex]\[ \text{Ecuación: } y = 4x \][/tex]
3. Mediana de [tex]\(CA\)[/tex]:
[tex]\[ y - 3 = -1.75(x + 0.5) \][/tex]
[tex]\[ y = -1.75x - 0.875 + 3 \approx -1.75x + 2.125 \][/tex]
[tex]\[ \text{Ecuación: } y = -1.75x + 2.125 \][/tex]
### Paso 5: Hallar el circuncentro
El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices. Vamos a resolver el sistema de ecuaciones formado por dos de estas mediatrices:
1. [tex]\(y = 0.167x + 1.416\)[/tex]
2. [tex]\(y = 4x\)[/tex]
Igualamos estas dos ecuaciones:
[tex]\[ 0.167x + 1.416 = 4x \][/tex]
[tex]\[ 1.416 = 4x - 0.167x \][/tex]
[tex]\[ 1.416 = 3.833x \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{1.416}{3.833} \approx 0.370 \][/tex]
Usamos este valor de [tex]\(x\)[/tex] en una de las ecuaciones para encontrar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ y = 4(0.370) \approx 1.478 \][/tex]
### Respuesta final:
Las ecuaciones de las mediatrices son:
[tex]\[ \begin{align*} \text{Mediatriz de } AB: & \quad y = 0.167x + 1.416 \\ \text{Mediatriz de } BC: & \quad y = 4x \\ \text{Mediatriz de } CA: & \quad y = -1.75x + 2.125 \end{align*} \][/tex]
El circuncentro es:
[tex]\[ C = (0.370, 1.478) \][/tex]
### Paso 1: Calcular los puntos medios de los lados del triángulo
Dado un segmento con extremos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex], el punto medio viene dado por:
[tex]\[ M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \][/tex]
Aplicamos esto a cada lado:
1. Lado [tex]\(AB\)[/tex]:
[tex]\[ M_{AB} = \left(\frac{3 + 4}{2}, \frac{5 + (-1)}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{4}{2}\right) = \left(3.5, 2\right) \][/tex]
2. Lado [tex]\(BC\)[/tex]:
[tex]\[ M_{BC} = \left(\frac{4 + (-4)}{2}, \frac{-1 + 1}{2}\right) = \left(\frac{0}{2}, \frac{0}{2}\right) = \left(0, 0\right) \][/tex]
3. Lado [tex]\(CA\)[/tex]:
[tex]\[ M_{CA} = \left(\frac{-4 + 3}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) = \left(\frac{-1}{2}, \frac{6}{2}\right) = \left(-0.5, 3\right) \][/tex]
### Paso 2: Calcular las pendientes de los lados
Dado un segmento con extremos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex], la pendiente [tex]\(m\)[/tex] viene dada por:
[tex]\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \][/tex]
Aplicamos esto a cada lado:
1. Lado [tex]\(AB\)[/tex]:
[tex]\[ m_{AB} = \frac{-1 - 5}{4 - 3} = \frac{-6}{1} = -6 \][/tex]
2. Lado [tex]\(BC\)[/tex]:
[tex]\[ m_{BC} = \frac{1 - (-1)}{-4 - 4} = \frac{2}{-8} = -0.25 \][/tex]
3. Lado [tex]\(CA\)[/tex]:
[tex]\[ m_{CA} = \frac{5 - 1}{3 - (-4)} = \frac{4}{7} \approx 0.571 \][/tex]
### Paso 3: Calcular las pendientes de las mediatrices
Las mediatrices son perpendiculares a los lados, por lo que sus pendientes son los inversos negativos de las pendientes de los lados:
1. Mediana de [tex]\(AB\)[/tex]:
[tex]\[ m_{\perp AB} = -\frac{1}{-6} = \frac{1}{6} \approx 0.167 \][/tex]
2. Mediana de [tex]\(BC\)[/tex]:
[tex]\[ m_{\perp BC} = -\frac{1}{-0.25} = 4 \][/tex]
3. Mediana de [tex]\(CA\)[/tex]:
[tex]\[ m_{\perp CA} = -\frac{1}{0.571} \approx -1.75 \][/tex]
### Paso 4: Hallar las ecuaciones de las mediatrices
Para encontrar la ecuación de una recta en la forma [tex]\(y = mx + b\)[/tex], necesitamos la pendiente y un punto que pertenece a la recta. Aquí usamos los puntos medios calculados y las pendientes perpendiculares:
1. Mediana de [tex]\(AB\)[/tex]:
[tex]\[ y - 2 = 0.167(x - 3.5) \][/tex]
[tex]\[ y = 0.167x - 0.585 + 2 \approx 0.167x + 1.415 \][/tex]
[tex]\[ \text{Ecuación: } y = 0.167x + 1.416 \][/tex]
2. Mediana de [tex]\(BC\)[/tex]:
[tex]\[ y - 0 = 4(x - 0) \][/tex]
[tex]\[ \text{Ecuación: } y = 4x \][/tex]
3. Mediana de [tex]\(CA\)[/tex]:
[tex]\[ y - 3 = -1.75(x + 0.5) \][/tex]
[tex]\[ y = -1.75x - 0.875 + 3 \approx -1.75x + 2.125 \][/tex]
[tex]\[ \text{Ecuación: } y = -1.75x + 2.125 \][/tex]
### Paso 5: Hallar el circuncentro
El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices. Vamos a resolver el sistema de ecuaciones formado por dos de estas mediatrices:
1. [tex]\(y = 0.167x + 1.416\)[/tex]
2. [tex]\(y = 4x\)[/tex]
Igualamos estas dos ecuaciones:
[tex]\[ 0.167x + 1.416 = 4x \][/tex]
[tex]\[ 1.416 = 4x - 0.167x \][/tex]
[tex]\[ 1.416 = 3.833x \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{1.416}{3.833} \approx 0.370 \][/tex]
Usamos este valor de [tex]\(x\)[/tex] en una de las ecuaciones para encontrar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ y = 4(0.370) \approx 1.478 \][/tex]
### Respuesta final:
Las ecuaciones de las mediatrices son:
[tex]\[ \begin{align*} \text{Mediatriz de } AB: & \quad y = 0.167x + 1.416 \\ \text{Mediatriz de } BC: & \quad y = 4x \\ \text{Mediatriz de } CA: & \quad y = -1.75x + 2.125 \end{align*} \][/tex]
El circuncentro es:
[tex]\[ C = (0.370, 1.478) \][/tex]
We hope our answers were useful. Return anytime for more information and answers to any other questions you have. We appreciate your visit. Our platform is always here to offer accurate and reliable answers. Return anytime. Westonci.ca is committed to providing accurate answers. Come back soon for more trustworthy information.
