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Sagot :
Para resolver este problema, vamos a determinar las ecuaciones de las mediatrices de los lados del triángulo y encontrar el circuncentro, es decir, el punto donde se intersectan estas mediatrices. Las mediatrices son las rectas perpendiculares a los lados del triángulo que pasan por los puntos medios de estos lados.
### Paso 1: Calcular los puntos medios de los lados del triángulo
Dado un segmento con extremos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex], el punto medio viene dado por:
[tex]\[ M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \][/tex]
Aplicamos esto a cada lado:
1. Lado [tex]\(AB\)[/tex]:
[tex]\[ M_{AB} = \left(\frac{3 + 4}{2}, \frac{5 + (-1)}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{4}{2}\right) = \left(3.5, 2\right) \][/tex]
2. Lado [tex]\(BC\)[/tex]:
[tex]\[ M_{BC} = \left(\frac{4 + (-4)}{2}, \frac{-1 + 1}{2}\right) = \left(\frac{0}{2}, \frac{0}{2}\right) = \left(0, 0\right) \][/tex]
3. Lado [tex]\(CA\)[/tex]:
[tex]\[ M_{CA} = \left(\frac{-4 + 3}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) = \left(\frac{-1}{2}, \frac{6}{2}\right) = \left(-0.5, 3\right) \][/tex]
### Paso 2: Calcular las pendientes de los lados
Dado un segmento con extremos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex], la pendiente [tex]\(m\)[/tex] viene dada por:
[tex]\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \][/tex]
Aplicamos esto a cada lado:
1. Lado [tex]\(AB\)[/tex]:
[tex]\[ m_{AB} = \frac{-1 - 5}{4 - 3} = \frac{-6}{1} = -6 \][/tex]
2. Lado [tex]\(BC\)[/tex]:
[tex]\[ m_{BC} = \frac{1 - (-1)}{-4 - 4} = \frac{2}{-8} = -0.25 \][/tex]
3. Lado [tex]\(CA\)[/tex]:
[tex]\[ m_{CA} = \frac{5 - 1}{3 - (-4)} = \frac{4}{7} \approx 0.571 \][/tex]
### Paso 3: Calcular las pendientes de las mediatrices
Las mediatrices son perpendiculares a los lados, por lo que sus pendientes son los inversos negativos de las pendientes de los lados:
1. Mediana de [tex]\(AB\)[/tex]:
[tex]\[ m_{\perp AB} = -\frac{1}{-6} = \frac{1}{6} \approx 0.167 \][/tex]
2. Mediana de [tex]\(BC\)[/tex]:
[tex]\[ m_{\perp BC} = -\frac{1}{-0.25} = 4 \][/tex]
3. Mediana de [tex]\(CA\)[/tex]:
[tex]\[ m_{\perp CA} = -\frac{1}{0.571} \approx -1.75 \][/tex]
### Paso 4: Hallar las ecuaciones de las mediatrices
Para encontrar la ecuación de una recta en la forma [tex]\(y = mx + b\)[/tex], necesitamos la pendiente y un punto que pertenece a la recta. Aquí usamos los puntos medios calculados y las pendientes perpendiculares:
1. Mediana de [tex]\(AB\)[/tex]:
[tex]\[ y - 2 = 0.167(x - 3.5) \][/tex]
[tex]\[ y = 0.167x - 0.585 + 2 \approx 0.167x + 1.415 \][/tex]
[tex]\[ \text{Ecuación: } y = 0.167x + 1.416 \][/tex]
2. Mediana de [tex]\(BC\)[/tex]:
[tex]\[ y - 0 = 4(x - 0) \][/tex]
[tex]\[ \text{Ecuación: } y = 4x \][/tex]
3. Mediana de [tex]\(CA\)[/tex]:
[tex]\[ y - 3 = -1.75(x + 0.5) \][/tex]
[tex]\[ y = -1.75x - 0.875 + 3 \approx -1.75x + 2.125 \][/tex]
[tex]\[ \text{Ecuación: } y = -1.75x + 2.125 \][/tex]
### Paso 5: Hallar el circuncentro
El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices. Vamos a resolver el sistema de ecuaciones formado por dos de estas mediatrices:
1. [tex]\(y = 0.167x + 1.416\)[/tex]
2. [tex]\(y = 4x\)[/tex]
Igualamos estas dos ecuaciones:
[tex]\[ 0.167x + 1.416 = 4x \][/tex]
[tex]\[ 1.416 = 4x - 0.167x \][/tex]
[tex]\[ 1.416 = 3.833x \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{1.416}{3.833} \approx 0.370 \][/tex]
Usamos este valor de [tex]\(x\)[/tex] en una de las ecuaciones para encontrar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ y = 4(0.370) \approx 1.478 \][/tex]
### Respuesta final:
Las ecuaciones de las mediatrices son:
[tex]\[ \begin{align*} \text{Mediatriz de } AB: & \quad y = 0.167x + 1.416 \\ \text{Mediatriz de } BC: & \quad y = 4x \\ \text{Mediatriz de } CA: & \quad y = -1.75x + 2.125 \end{align*} \][/tex]
El circuncentro es:
[tex]\[ C = (0.370, 1.478) \][/tex]
### Paso 1: Calcular los puntos medios de los lados del triángulo
Dado un segmento con extremos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex], el punto medio viene dado por:
[tex]\[ M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \][/tex]
Aplicamos esto a cada lado:
1. Lado [tex]\(AB\)[/tex]:
[tex]\[ M_{AB} = \left(\frac{3 + 4}{2}, \frac{5 + (-1)}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{4}{2}\right) = \left(3.5, 2\right) \][/tex]
2. Lado [tex]\(BC\)[/tex]:
[tex]\[ M_{BC} = \left(\frac{4 + (-4)}{2}, \frac{-1 + 1}{2}\right) = \left(\frac{0}{2}, \frac{0}{2}\right) = \left(0, 0\right) \][/tex]
3. Lado [tex]\(CA\)[/tex]:
[tex]\[ M_{CA} = \left(\frac{-4 + 3}{2}, \frac{1 + 5}{2}\right) = \left(\frac{-1}{2}, \frac{6}{2}\right) = \left(-0.5, 3\right) \][/tex]
### Paso 2: Calcular las pendientes de los lados
Dado un segmento con extremos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex], la pendiente [tex]\(m\)[/tex] viene dada por:
[tex]\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \][/tex]
Aplicamos esto a cada lado:
1. Lado [tex]\(AB\)[/tex]:
[tex]\[ m_{AB} = \frac{-1 - 5}{4 - 3} = \frac{-6}{1} = -6 \][/tex]
2. Lado [tex]\(BC\)[/tex]:
[tex]\[ m_{BC} = \frac{1 - (-1)}{-4 - 4} = \frac{2}{-8} = -0.25 \][/tex]
3. Lado [tex]\(CA\)[/tex]:
[tex]\[ m_{CA} = \frac{5 - 1}{3 - (-4)} = \frac{4}{7} \approx 0.571 \][/tex]
### Paso 3: Calcular las pendientes de las mediatrices
Las mediatrices son perpendiculares a los lados, por lo que sus pendientes son los inversos negativos de las pendientes de los lados:
1. Mediana de [tex]\(AB\)[/tex]:
[tex]\[ m_{\perp AB} = -\frac{1}{-6} = \frac{1}{6} \approx 0.167 \][/tex]
2. Mediana de [tex]\(BC\)[/tex]:
[tex]\[ m_{\perp BC} = -\frac{1}{-0.25} = 4 \][/tex]
3. Mediana de [tex]\(CA\)[/tex]:
[tex]\[ m_{\perp CA} = -\frac{1}{0.571} \approx -1.75 \][/tex]
### Paso 4: Hallar las ecuaciones de las mediatrices
Para encontrar la ecuación de una recta en la forma [tex]\(y = mx + b\)[/tex], necesitamos la pendiente y un punto que pertenece a la recta. Aquí usamos los puntos medios calculados y las pendientes perpendiculares:
1. Mediana de [tex]\(AB\)[/tex]:
[tex]\[ y - 2 = 0.167(x - 3.5) \][/tex]
[tex]\[ y = 0.167x - 0.585 + 2 \approx 0.167x + 1.415 \][/tex]
[tex]\[ \text{Ecuación: } y = 0.167x + 1.416 \][/tex]
2. Mediana de [tex]\(BC\)[/tex]:
[tex]\[ y - 0 = 4(x - 0) \][/tex]
[tex]\[ \text{Ecuación: } y = 4x \][/tex]
3. Mediana de [tex]\(CA\)[/tex]:
[tex]\[ y - 3 = -1.75(x + 0.5) \][/tex]
[tex]\[ y = -1.75x - 0.875 + 3 \approx -1.75x + 2.125 \][/tex]
[tex]\[ \text{Ecuación: } y = -1.75x + 2.125 \][/tex]
### Paso 5: Hallar el circuncentro
El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices. Vamos a resolver el sistema de ecuaciones formado por dos de estas mediatrices:
1. [tex]\(y = 0.167x + 1.416\)[/tex]
2. [tex]\(y = 4x\)[/tex]
Igualamos estas dos ecuaciones:
[tex]\[ 0.167x + 1.416 = 4x \][/tex]
[tex]\[ 1.416 = 4x - 0.167x \][/tex]
[tex]\[ 1.416 = 3.833x \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{1.416}{3.833} \approx 0.370 \][/tex]
Usamos este valor de [tex]\(x\)[/tex] en una de las ecuaciones para encontrar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[ y = 4(0.370) \approx 1.478 \][/tex]
### Respuesta final:
Las ecuaciones de las mediatrices son:
[tex]\[ \begin{align*} \text{Mediatriz de } AB: & \quad y = 0.167x + 1.416 \\ \text{Mediatriz de } BC: & \quad y = 4x \\ \text{Mediatriz de } CA: & \quad y = -1.75x + 2.125 \end{align*} \][/tex]
El circuncentro es:
[tex]\[ C = (0.370, 1.478) \][/tex]
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