Para determinar qué término de una progresión geométrica está representado por la expresión [tex]\(a_n = a_1 r^{21}\)[/tex], es importante entender la fórmula general de los términos en una progresión geométrica.
La fórmula general para el n-ésimo término de una progresión geométrica es:
[tex]\[ a_n = a_1 r^{n-1} \][/tex]
En esta fórmula:
- [tex]\(a_1\)[/tex] es el primer término de la progresión.
- [tex]\(r\)[/tex] es la razón común.
- [tex]\(n-1\)[/tex] es el exponente al que está elevado el valor de la razón común [tex]\(r\)[/tex].
En el problema, tenemos la expresión [tex]\(a_n = a_1 r^{21}\)[/tex]. Queremos averiguar qué término [tex]\(n\)[/tex] de la progresión corresponde a esta expresión.
Comparando con la fórmula general:
[tex]\[a_n = a_1 r^{n-1}\][/tex]
Es claro que el exponente [tex]\(21\)[/tex] corresponde a [tex]\(n-1\)[/tex]. De aquí podemos plantear la ecuación:
[tex]\[n-1 = 21\][/tex]
Para encontrar el valor de [tex]\(n\)[/tex], simplemente sumamos 1 a ambos lados de la ecuación:
[tex]\[n = 21 + 1\][/tex]
[tex]\[n = 22\][/tex]
Por lo tanto, el término de la progresión geométrica que se calcula con la expresión [tex]\(a_n = a_1 r^{21}\)[/tex] es el 22º término. Así que la respuesta correcta es:
El [tex]$22^{\circ}$[/tex] término.
