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Sagot :
Claro, resolvamos paso a paso estas preguntas relacionadas con una muestra de vehículos en una compañía automotriz.
Supongamos que la proporción poblacional de vehículos defectuosos es [tex]\( p = 0.07 \)[/tex] y tenemos una muestra aleatoria simple de 700 vehículos.
### a. Tamaño de la muestra
El tamaño de muestra [tex]\( n \)[/tex] es [tex]\( 700 \)[/tex].
### b. Proporción de éxito poblacional [tex]\( p \)[/tex]
La proporción de éxito poblacional [tex]\( p \)[/tex] es [tex]\( 0.07 \)[/tex].
### c. Proporción de fracaso poblacional [tex]\( q \)[/tex]
La proporción de fracaso poblacional [tex]\( q \)[/tex] se calcula como [tex]\( 1 - p \)[/tex]:
[tex]\[ q = 1 - 0.07 = 0.93 \][/tex]
### d. Error estándar
El error estándar se calcula utilizando la fórmula:
[tex]\[ \text{Error estándar} = \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}} \][/tex]
Sustituimos los valores de [tex]\( p \)[/tex], [tex]\( q \)[/tex] y [tex]\( n \)[/tex]:
[tex]\[ \text{Error estándar} = \sqrt{\frac{0.07 \cdot 0.93}{700}} \][/tex]
Primero, calculamos el numerador:
[tex]\[ 0.07 \cdot 0.93 = 0.0651 \][/tex]
Luego, dividimos por el tamaño de la muestra:
[tex]\[ \frac{0.0651}{700} \approx 0.000093 \][/tex]
Finalmente, obtenemos la raíz cuadrada:
[tex]\[ \sqrt{0.000093} \approx 0.0096 \][/tex]
Redondeando a 4 decimales, tenemos:
[tex]\[ \text{Error estándar} = 0.0096 \][/tex]
### e. Valor de [tex]\( z \)[/tex] para [tex]\( \hat{p} - p > 0.015 \)[/tex]
El valor de [tex]\( z \)[/tex] se calcula como:
[tex]\[ z = \frac{\text{diferencia}}{\text{error estándar}} \][/tex]
Donde la diferencia es [tex]\( 0.015 \)[/tex]:
[tex]\[ z = \frac{0.015}{0.0096} \approx 1.5625 \][/tex]
Redondeando a 4 decimales, tenemos:
[tex]\[ z = 1.5625 \][/tex]
### f. Probabilidad de que la proporción muestral difiera en más de 0.015 de la proporción poblacional [tex]\( p \)[/tex]
Primero, calculamos la probabilidad acumulada para el valor de [tex]\( z \)[/tex] usando la tabla de distribución normal.
La probabilidad acumulada [tex]\( P(Z < 1.5625) \)[/tex] se busca en la tabla estándar de la distribución normal, que típicamente da un valor cercano a 0.9411.
La probabilidad de que la proporción muestral difiera en más de 0.015 de la proporción poblacional [tex]\( p \)[/tex] es:
[tex]\[ P(Z > 1.5625) = 1 - P(Z < 1.5625) \approx 1 - 0.9411 = 0.0589 \][/tex]
Multiplicando por 2 para considerar ambas colas de la distribución:
[tex]\[ \text{Probabilidad} = 2 \cdot 0.0589 \approx 0.1178 \][/tex]
Redondeando a 4 decimales, obtenemos:
[tex]\[ \text{Probabilidad} = 0.1178 \][/tex]
Resumiendo:
a. Tamaño de muestra: [tex]\( 700 \)[/tex]
b. Proporción de éxito poblacional [tex]\( (p) \)[/tex]: [tex]\( 0.07 \)[/tex]
c. Proporción de fracaso poblacional [tex]\( (q) \)[/tex]: [tex]\( 0.93 \)[/tex]
d. Error estándar: [tex]\( 0.0096 \)[/tex]
e. Valor de [tex]\( z \)[/tex]: [tex]\( 1.5625 \)[/tex]
f. Probabilidad de una diferencia mayor a 0.015: [tex]\( 0.1178 \)[/tex]
Supongamos que la proporción poblacional de vehículos defectuosos es [tex]\( p = 0.07 \)[/tex] y tenemos una muestra aleatoria simple de 700 vehículos.
### a. Tamaño de la muestra
El tamaño de muestra [tex]\( n \)[/tex] es [tex]\( 700 \)[/tex].
### b. Proporción de éxito poblacional [tex]\( p \)[/tex]
La proporción de éxito poblacional [tex]\( p \)[/tex] es [tex]\( 0.07 \)[/tex].
### c. Proporción de fracaso poblacional [tex]\( q \)[/tex]
La proporción de fracaso poblacional [tex]\( q \)[/tex] se calcula como [tex]\( 1 - p \)[/tex]:
[tex]\[ q = 1 - 0.07 = 0.93 \][/tex]
### d. Error estándar
El error estándar se calcula utilizando la fórmula:
[tex]\[ \text{Error estándar} = \sqrt{\frac{p \cdot q}{n}} \][/tex]
Sustituimos los valores de [tex]\( p \)[/tex], [tex]\( q \)[/tex] y [tex]\( n \)[/tex]:
[tex]\[ \text{Error estándar} = \sqrt{\frac{0.07 \cdot 0.93}{700}} \][/tex]
Primero, calculamos el numerador:
[tex]\[ 0.07 \cdot 0.93 = 0.0651 \][/tex]
Luego, dividimos por el tamaño de la muestra:
[tex]\[ \frac{0.0651}{700} \approx 0.000093 \][/tex]
Finalmente, obtenemos la raíz cuadrada:
[tex]\[ \sqrt{0.000093} \approx 0.0096 \][/tex]
Redondeando a 4 decimales, tenemos:
[tex]\[ \text{Error estándar} = 0.0096 \][/tex]
### e. Valor de [tex]\( z \)[/tex] para [tex]\( \hat{p} - p > 0.015 \)[/tex]
El valor de [tex]\( z \)[/tex] se calcula como:
[tex]\[ z = \frac{\text{diferencia}}{\text{error estándar}} \][/tex]
Donde la diferencia es [tex]\( 0.015 \)[/tex]:
[tex]\[ z = \frac{0.015}{0.0096} \approx 1.5625 \][/tex]
Redondeando a 4 decimales, tenemos:
[tex]\[ z = 1.5625 \][/tex]
### f. Probabilidad de que la proporción muestral difiera en más de 0.015 de la proporción poblacional [tex]\( p \)[/tex]
Primero, calculamos la probabilidad acumulada para el valor de [tex]\( z \)[/tex] usando la tabla de distribución normal.
La probabilidad acumulada [tex]\( P(Z < 1.5625) \)[/tex] se busca en la tabla estándar de la distribución normal, que típicamente da un valor cercano a 0.9411.
La probabilidad de que la proporción muestral difiera en más de 0.015 de la proporción poblacional [tex]\( p \)[/tex] es:
[tex]\[ P(Z > 1.5625) = 1 - P(Z < 1.5625) \approx 1 - 0.9411 = 0.0589 \][/tex]
Multiplicando por 2 para considerar ambas colas de la distribución:
[tex]\[ \text{Probabilidad} = 2 \cdot 0.0589 \approx 0.1178 \][/tex]
Redondeando a 4 decimales, obtenemos:
[tex]\[ \text{Probabilidad} = 0.1178 \][/tex]
Resumiendo:
a. Tamaño de muestra: [tex]\( 700 \)[/tex]
b. Proporción de éxito poblacional [tex]\( (p) \)[/tex]: [tex]\( 0.07 \)[/tex]
c. Proporción de fracaso poblacional [tex]\( (q) \)[/tex]: [tex]\( 0.93 \)[/tex]
d. Error estándar: [tex]\( 0.0096 \)[/tex]
e. Valor de [tex]\( z \)[/tex]: [tex]\( 1.5625 \)[/tex]
f. Probabilidad de una diferencia mayor a 0.015: [tex]\( 0.1178 \)[/tex]
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