Vamos a resolver cada uno de los problemas de manera detallada aplicando las propiedades de los exponentes.
### Problema 3
Para encontrar el producto [tex]\(5^2 \times 5^3 \times 5^4\)[/tex]:
1. Propiedad de los exponentes: Cuando se multiplican potencias con la misma base, se suman los exponentes [tex]\((a^m \times a^n = a^{m+n})\)[/tex].
2. Aplicamos esta propiedad a nuestro problema:
[tex]\[
5^2 \times 5^3 \times 5^4 = 5^{2+3+4} = 5^9
\][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
a) [tex]\(5^9\)[/tex]
### Problema 4
Para la expresión [tex]\(\left(6^6\right)^6\)[/tex]:
1. Propiedad de los exponentes: Cuando tenemos una potencia de una potencia, multiplicamos los exponentes [tex]\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)[/tex].
2. Aplicamos esta propiedad a nuestro problema:
[tex]\[
\left(6^6\right)^6 = 6^{6 \cdot 6} = 6^{36}
\][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
d) [tex]\(6^{36}\)[/tex]
### Problema 5
Para encontrar el cociente [tex]\(7^5 / 7^4\)[/tex]:
1. Propiedad de los exponentes: Cuando se dividen potencias con la misma base, se restan los exponentes [tex]\((a^m / a^n = a^{m-n})\)[/tex].
2. Aplicamos esta propiedad a nuestro problema:
[tex]\[
\frac{7^5}{7^4} = 7^{5-4} = 7^1 = 7
\][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
d) 7
