Para resolver la expresión dada, podemos utilizar las propiedades de los ángulos complementarios y simplificar paso a paso tanto el numerador como el denominador.
La expresión a evaluar es:
[tex]$
E = \frac{\csc 80^\circ \cdot \cos 10^\circ + \tan 48^\circ \cdot 2 \tan 42^\circ}{3 \sin 25^\circ \cdot \sec 65^\circ - 2 \sin 30^\circ}
$[/tex]
1. Simplificación del numerador
Primero, evaluamos el numerador:
[tex]$
\csc 80^\circ \cdot \cos 10^\circ + \tan 48^\circ \cdot 2 \tan 42^\circ
$[/tex]
Usaremos las propiedades trigonométricas que relacionan ángulos complementarios:
- [tex]$\csc 80^\circ = \frac{1}{\sin 80^\circ}$[/tex]
- [tex]$\sin 80^\circ = \cos 10^\circ$[/tex] (porque [tex]$80^\circ$[/tex] y [tex]$10^\circ$[/tex] son complementarios).
Así, podemos reescribir [tex]$\csc 80^\circ$[/tex] como:
[tex]$
\csc 80^\circ = \frac{1}{\cos 10^\circ}
$[/tex]
Esto simplifica el primer término del numerador:
[tex]$
\csc 80^\circ \cdot \cos 10^\circ = \frac{1}{\cos 10^\circ} \cdot \cos 10^\circ = 1
$[/tex]
El segundo término del numerador es [tex]$\tan 48^\circ \cdot 2 \tan 42^\circ$[/tex]. Recordando que [tex]$\tan 42^\circ \cdot \tan 48^\circ$[/tex] es un producto estándar que se relaciona mediante sus propiedades complementarias. Sin embargo, en este caso, simplemente podemos asumir el valor calculado:
[tex]$
\tan 48^\circ \cdot 2 \tan 42^\circ = 2
$[/tex]
Sumando estos resultados, obtenemos el numerador:
[tex]$
1 + 2 = 3
$[/tex]
2. Simplificación del denominador
Ahora evaluamos el denominador:
[tex]$
3 \sin 25^\circ \cdot \sec 65^\circ - 2 \sin 30^\circ
$[/tex]
Usamos las propiedades trigonométricas de los ángulos complementarios:
- [tex]$\sec 65^\circ = \frac{1}{\cos 65^\circ}$[/tex]
- [tex]$\cos 65^\circ = \sin 25^\circ$[/tex] (porque [tex]$65^\circ$[/tex] y [tex]$25^\circ$[/tex] son complementarios).
Así, podemos reescribir [tex]$\sec 65^\circ$[/tex] como:
[tex]$
\sec 65^\circ = \frac{1}{\sin 25^\circ}
$[/tex]
Entonces, el primer término del denominador se convierte en:
[tex]$
3 \sin 25^\circ \cdot \frac{1}{\sin 25^\circ} = 3
$[/tex]
Y el segundo término se evalúa directamente:
[tex]$
2 \sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1
$[/tex]
Restando estos resultados:
[tex]$
3 - 1 = 2
$[/tex]
3. Combinación de numerador y denominador
Finalmente, combinamos el numerador y el denominador para obtener [tex]$E$[/tex]:
[tex]$
E = \frac{3}{2}
$[/tex]
Así, el valor de [tex]\( E \)[/tex] es:
[tex]$
E = 1.5
$[/tex]
