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Sagot :
Para resolver la expresión dada, podemos utilizar las propiedades de los ángulos complementarios y simplificar paso a paso tanto el numerador como el denominador.
La expresión a evaluar es:
[tex]$ E = \frac{\csc 80^\circ \cdot \cos 10^\circ + \tan 48^\circ \cdot 2 \tan 42^\circ}{3 \sin 25^\circ \cdot \sec 65^\circ - 2 \sin 30^\circ} $[/tex]
1. Simplificación del numerador
Primero, evaluamos el numerador:
[tex]$ \csc 80^\circ \cdot \cos 10^\circ + \tan 48^\circ \cdot 2 \tan 42^\circ $[/tex]
Usaremos las propiedades trigonométricas que relacionan ángulos complementarios:
- [tex]$\csc 80^\circ = \frac{1}{\sin 80^\circ}$[/tex]
- [tex]$\sin 80^\circ = \cos 10^\circ$[/tex] (porque [tex]$80^\circ$[/tex] y [tex]$10^\circ$[/tex] son complementarios).
Así, podemos reescribir [tex]$\csc 80^\circ$[/tex] como:
[tex]$ \csc 80^\circ = \frac{1}{\cos 10^\circ} $[/tex]
Esto simplifica el primer término del numerador:
[tex]$ \csc 80^\circ \cdot \cos 10^\circ = \frac{1}{\cos 10^\circ} \cdot \cos 10^\circ = 1 $[/tex]
El segundo término del numerador es [tex]$\tan 48^\circ \cdot 2 \tan 42^\circ$[/tex]. Recordando que [tex]$\tan 42^\circ \cdot \tan 48^\circ$[/tex] es un producto estándar que se relaciona mediante sus propiedades complementarias. Sin embargo, en este caso, simplemente podemos asumir el valor calculado:
[tex]$ \tan 48^\circ \cdot 2 \tan 42^\circ = 2 $[/tex]
Sumando estos resultados, obtenemos el numerador:
[tex]$ 1 + 2 = 3 $[/tex]
2. Simplificación del denominador
Ahora evaluamos el denominador:
[tex]$ 3 \sin 25^\circ \cdot \sec 65^\circ - 2 \sin 30^\circ $[/tex]
Usamos las propiedades trigonométricas de los ángulos complementarios:
- [tex]$\sec 65^\circ = \frac{1}{\cos 65^\circ}$[/tex]
- [tex]$\cos 65^\circ = \sin 25^\circ$[/tex] (porque [tex]$65^\circ$[/tex] y [tex]$25^\circ$[/tex] son complementarios).
Así, podemos reescribir [tex]$\sec 65^\circ$[/tex] como:
[tex]$ \sec 65^\circ = \frac{1}{\sin 25^\circ} $[/tex]
Entonces, el primer término del denominador se convierte en:
[tex]$ 3 \sin 25^\circ \cdot \frac{1}{\sin 25^\circ} = 3 $[/tex]
Y el segundo término se evalúa directamente:
[tex]$ 2 \sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $[/tex]
Restando estos resultados:
[tex]$ 3 - 1 = 2 $[/tex]
3. Combinación de numerador y denominador
Finalmente, combinamos el numerador y el denominador para obtener [tex]$E$[/tex]:
[tex]$ E = \frac{3}{2} $[/tex]
Así, el valor de [tex]\( E \)[/tex] es:
[tex]$ E = 1.5 $[/tex]
La expresión a evaluar es:
[tex]$ E = \frac{\csc 80^\circ \cdot \cos 10^\circ + \tan 48^\circ \cdot 2 \tan 42^\circ}{3 \sin 25^\circ \cdot \sec 65^\circ - 2 \sin 30^\circ} $[/tex]
1. Simplificación del numerador
Primero, evaluamos el numerador:
[tex]$ \csc 80^\circ \cdot \cos 10^\circ + \tan 48^\circ \cdot 2 \tan 42^\circ $[/tex]
Usaremos las propiedades trigonométricas que relacionan ángulos complementarios:
- [tex]$\csc 80^\circ = \frac{1}{\sin 80^\circ}$[/tex]
- [tex]$\sin 80^\circ = \cos 10^\circ$[/tex] (porque [tex]$80^\circ$[/tex] y [tex]$10^\circ$[/tex] son complementarios).
Así, podemos reescribir [tex]$\csc 80^\circ$[/tex] como:
[tex]$ \csc 80^\circ = \frac{1}{\cos 10^\circ} $[/tex]
Esto simplifica el primer término del numerador:
[tex]$ \csc 80^\circ \cdot \cos 10^\circ = \frac{1}{\cos 10^\circ} \cdot \cos 10^\circ = 1 $[/tex]
El segundo término del numerador es [tex]$\tan 48^\circ \cdot 2 \tan 42^\circ$[/tex]. Recordando que [tex]$\tan 42^\circ \cdot \tan 48^\circ$[/tex] es un producto estándar que se relaciona mediante sus propiedades complementarias. Sin embargo, en este caso, simplemente podemos asumir el valor calculado:
[tex]$ \tan 48^\circ \cdot 2 \tan 42^\circ = 2 $[/tex]
Sumando estos resultados, obtenemos el numerador:
[tex]$ 1 + 2 = 3 $[/tex]
2. Simplificación del denominador
Ahora evaluamos el denominador:
[tex]$ 3 \sin 25^\circ \cdot \sec 65^\circ - 2 \sin 30^\circ $[/tex]
Usamos las propiedades trigonométricas de los ángulos complementarios:
- [tex]$\sec 65^\circ = \frac{1}{\cos 65^\circ}$[/tex]
- [tex]$\cos 65^\circ = \sin 25^\circ$[/tex] (porque [tex]$65^\circ$[/tex] y [tex]$25^\circ$[/tex] son complementarios).
Así, podemos reescribir [tex]$\sec 65^\circ$[/tex] como:
[tex]$ \sec 65^\circ = \frac{1}{\sin 25^\circ} $[/tex]
Entonces, el primer término del denominador se convierte en:
[tex]$ 3 \sin 25^\circ \cdot \frac{1}{\sin 25^\circ} = 3 $[/tex]
Y el segundo término se evalúa directamente:
[tex]$ 2 \sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $[/tex]
Restando estos resultados:
[tex]$ 3 - 1 = 2 $[/tex]
3. Combinación de numerador y denominador
Finalmente, combinamos el numerador y el denominador para obtener [tex]$E$[/tex]:
[tex]$ E = \frac{3}{2} $[/tex]
Así, el valor de [tex]\( E \)[/tex] es:
[tex]$ E = 1.5 $[/tex]
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