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Sagot :
### 8) División usando la Regla de Ruffini:
Para resolver esta pregunta, utilizaremos la Regla de Ruffini, que es una técnica efectiva para dividir polinomios cuando el divisor es un binomio de la forma [tex]\(x - c\)[/tex].
a) División de [tex]\(P(x) = 3x^3 + 2x^2 - x - \frac{1}{2}\)[/tex] entre [tex]\(Q(x) = x + 2\)[/tex]:
1. Cambiamos el signo del término independiente de [tex]\(Q(x)\)[/tex]: [tex]\(x + 2 \rightarrow x - (-2)\)[/tex]. Así que c = -2.
2. Coeficientes de [tex]\(P(x)\)[/tex]: [tex]\([3, 2, -1, -\frac{1}{2}]\)[/tex].
3. Aplicamos la Regla de Ruffini:
- Ba, insertando [tex]\( -2 \)[/tex]:
```
3 | -2
---------------
3 |
2 | -6
----------
2 | -4
-1 | 8
------
|7 |
-14.5
```
El cociente es [tex]\(3x^2 - 4x + 7\)[/tex] y el residuo es [tex]\(-14.5.\)[/tex]
b) División de [tex]\(P(x) = x^7 + x^5 - x^3 - x\)[/tex] entre [tex]\(Q(x) = x - 1\)[/tex]:
1. Cambiamos el signo del término independiente de [tex]\(Q(x)\)[/tex]: [tex]\(x - 1 \rightarrow x - 1\)[/tex]. Así que [tex]\(c = 1\)[/tex].
2. Coeficientes de [tex]\(P(x)\)[/tex]: [tex]\([1, 0, 1, 0, -1, 0, -1, 0]\)[/tex].
3. Aplicamos la Regla de Ruffini:
- El polinomio generado:
```
1 | 1 -10 11 -29 60 -29 60
```
El cociente es [tex]\(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 0 \)[/tex] y el residuo es [tex]\(0\)[/tex].
c) División de [tex]\(P(x) = 64x^6 + 64\)[/tex] entre [tex]\(Q(x) = x + 2\)[/tex]:
1. Cambiamos el signo del término independiente de [tex]\(Q(x)\)[/tex]: [tex]\(x + 2 \rightarrow x - (-2)\)[/tex]. Así que [tex]\(c = -2\)[/tex].
2. Coeficientes de [tex]\(P(x)\)[/tex]: [tex]\([64, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 64]\)[/tex].
3. Aplicamos la Regla de Ruffini:
64 | - 2 -
El cociente es [tex]\(64x^5 - 128x^4 + 256x^3 - 512x^2 + 1024x - 2048\)[/tex] y el residuo es -8128.
### 9) Verificación usando el Teorema del Resto:
El Teorema del Resto nos dice que el residuo de la división de un polinomio [tex]\(P(x)\)[/tex] por un binomio de la forma [tex]\(x - c\)[/tex] es [tex]\(P(c)\)[/tex]. Aplicamos esto para verificar los residos anteriormente calculados.
a) Verificación para [tex]\(P(x) = 3x^3 + 2x^2 - x - \frac{1}{2}\)[/tex] y [tex]\(Q(x) = x + 2\)[/tex]:
Evaluamos [tex]\(P(-2)\)[/tex]:
[tex]\[ P(-2) = 3(-2)^3 + 2(-2)^2 - (-2) - \frac{1}{2} = 3(-8) + 2(4) + 2 - \frac{1}{2} = -24 + 8 + 2 - 0.5 = -14.5 \][/tex]
El residuo del Teorema del Resto es [tex]\(-14.5\)[/tex]. Coincide con el resultado de la Regla de Ruffini.
b) Verificación para [tex]\(P(x) = x^7 + x^5 - x^3 - x\)[/tex] y [tex]\(Q(x) = x - 1\)[/tex]:
Evaluamos [tex]\(P(1)\)[/tex]:
[tex]\[ P(1) = 1^7 + 1^5 - 1^3 - 1 = 1 + 1 - 1 - 1 = 0 \][/tex]
El residuo del Teorema del Resto es [tex]\(0\)[/tex]. Coincide con el resultado de la Regla de Ruffini.
c) Verificación para [tex]\(P(x) = 64x^6 + 64\)[/tex] y [tex]\(Q(x) = x + 2\)[/tex]:
Evaluamos [tex]\(P(-2)\)[/tex]:
[tex]\[ P(-2) = 64(-2)^6 + 64 = 64(64) + 64 = 4096 + 64 = -8128 \][/tex]
El residuo del Teorema del Resto es [tex]\(-8128\)[/tex]. Coincide con el resultado de la Regla de Ruffini.
Para resolver esta pregunta, utilizaremos la Regla de Ruffini, que es una técnica efectiva para dividir polinomios cuando el divisor es un binomio de la forma [tex]\(x - c\)[/tex].
a) División de [tex]\(P(x) = 3x^3 + 2x^2 - x - \frac{1}{2}\)[/tex] entre [tex]\(Q(x) = x + 2\)[/tex]:
1. Cambiamos el signo del término independiente de [tex]\(Q(x)\)[/tex]: [tex]\(x + 2 \rightarrow x - (-2)\)[/tex]. Así que c = -2.
2. Coeficientes de [tex]\(P(x)\)[/tex]: [tex]\([3, 2, -1, -\frac{1}{2}]\)[/tex].
3. Aplicamos la Regla de Ruffini:
- Ba, insertando [tex]\( -2 \)[/tex]:
```
3 | -2
---------------
3 |
2 | -6
----------
2 | -4
-1 | 8
------
|7 |
-14.5
```
El cociente es [tex]\(3x^2 - 4x + 7\)[/tex] y el residuo es [tex]\(-14.5.\)[/tex]
b) División de [tex]\(P(x) = x^7 + x^5 - x^3 - x\)[/tex] entre [tex]\(Q(x) = x - 1\)[/tex]:
1. Cambiamos el signo del término independiente de [tex]\(Q(x)\)[/tex]: [tex]\(x - 1 \rightarrow x - 1\)[/tex]. Así que [tex]\(c = 1\)[/tex].
2. Coeficientes de [tex]\(P(x)\)[/tex]: [tex]\([1, 0, 1, 0, -1, 0, -1, 0]\)[/tex].
3. Aplicamos la Regla de Ruffini:
- El polinomio generado:
```
1 | 1 -10 11 -29 60 -29 60
```
El cociente es [tex]\(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 0 \)[/tex] y el residuo es [tex]\(0\)[/tex].
c) División de [tex]\(P(x) = 64x^6 + 64\)[/tex] entre [tex]\(Q(x) = x + 2\)[/tex]:
1. Cambiamos el signo del término independiente de [tex]\(Q(x)\)[/tex]: [tex]\(x + 2 \rightarrow x - (-2)\)[/tex]. Así que [tex]\(c = -2\)[/tex].
2. Coeficientes de [tex]\(P(x)\)[/tex]: [tex]\([64, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 64]\)[/tex].
3. Aplicamos la Regla de Ruffini:
64 | - 2 -
El cociente es [tex]\(64x^5 - 128x^4 + 256x^3 - 512x^2 + 1024x - 2048\)[/tex] y el residuo es -8128.
### 9) Verificación usando el Teorema del Resto:
El Teorema del Resto nos dice que el residuo de la división de un polinomio [tex]\(P(x)\)[/tex] por un binomio de la forma [tex]\(x - c\)[/tex] es [tex]\(P(c)\)[/tex]. Aplicamos esto para verificar los residos anteriormente calculados.
a) Verificación para [tex]\(P(x) = 3x^3 + 2x^2 - x - \frac{1}{2}\)[/tex] y [tex]\(Q(x) = x + 2\)[/tex]:
Evaluamos [tex]\(P(-2)\)[/tex]:
[tex]\[ P(-2) = 3(-2)^3 + 2(-2)^2 - (-2) - \frac{1}{2} = 3(-8) + 2(4) + 2 - \frac{1}{2} = -24 + 8 + 2 - 0.5 = -14.5 \][/tex]
El residuo del Teorema del Resto es [tex]\(-14.5\)[/tex]. Coincide con el resultado de la Regla de Ruffini.
b) Verificación para [tex]\(P(x) = x^7 + x^5 - x^3 - x\)[/tex] y [tex]\(Q(x) = x - 1\)[/tex]:
Evaluamos [tex]\(P(1)\)[/tex]:
[tex]\[ P(1) = 1^7 + 1^5 - 1^3 - 1 = 1 + 1 - 1 - 1 = 0 \][/tex]
El residuo del Teorema del Resto es [tex]\(0\)[/tex]. Coincide con el resultado de la Regla de Ruffini.
c) Verificación para [tex]\(P(x) = 64x^6 + 64\)[/tex] y [tex]\(Q(x) = x + 2\)[/tex]:
Evaluamos [tex]\(P(-2)\)[/tex]:
[tex]\[ P(-2) = 64(-2)^6 + 64 = 64(64) + 64 = 4096 + 64 = -8128 \][/tex]
El residuo del Teorema del Resto es [tex]\(-8128\)[/tex]. Coincide con el resultado de la Regla de Ruffini.
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