Para calcular el valor numérico de la expresión
[tex]\[
\frac{2 \cdot\left(\cos 45^{\circ}\right)^2+3 \cdot \csc 37^{\circ}}{2 \cdot \operatorname{tg} 45^{\circ}},
\][/tex]
seguimos los siguientes pasos:
1. Calcular [tex]\(\cos 45^\circ\)[/tex] al cuadrado:
Sabemos que [tex]\(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)[/tex]. Al elevar esto al cuadrado, obtenemos:
[tex]\[
\left(\cos 45^\circ\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = 0.5.
\][/tex]
2. Calcular [tex]\(\csc 37^\circ\)[/tex]:
La función [tex]\(\csc\)[/tex] es la recíproca de la función [tex]\(\sin\)[/tex].
Entonces, [tex]\(\csc 37^\circ = \frac{1}{\sin 37^\circ}\)[/tex]. Evaluando esto obtenemos:
[tex]\[
\csc 37^\circ \approx 1.6616.
\][/tex]
3. Calcular [tex]\(\operatorname{tg} 45^\circ\)[/tex]:
Sabemos que [tex]\(\operatorname{tg} 45^\circ = 1\)[/tex].
4. Calcular el numerador de la expresión:
El numerador está dado por [tex]\(2 \cdot (\cos 45^\circ)^2 + 3 \cdot \csc 37^\circ\)[/tex]. Sustituyendo los valores que hemos calculado:
[tex]\[
2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 1.6616 = 1 + 4.9848 = 5.9848.
\][/tex]
5. Calcular el denominador de la expresión:
El denominador está dado por [tex]\(2 \cdot \operatorname{tg} 45^\circ\)[/tex]. Sustituyendo el valor conocido obtenemos:
[tex]\[
2 \cdot 1 = 2.
\][/tex]
6. Dividir el numerador entre el denominador:
Finalmente, realizamos la división del numerador entre el denominador:
[tex]\[
\frac{5.9848}{2} \approx 2.9924.
\][/tex]
Por lo tanto, el valor numérico de la expresión es aproximadamente [tex]\(2.9924\)[/tex].
