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Sagot :
### Paso 1: Encontrar la fórmula
Primero, observemos los valores dados en la tabla para encontrar la relación matemática que produce los valores de salida.
[tex]\[ \begin{array}{c|c} \hline \text{Valor de entrada} & \text{Valor de salida} \\ \hline 18.3 & 6.1 \\ 159 & 5.3 \\ 9.6 & 3.2 \\ -24 & -8 \\ \hline \end{array} \][/tex]
Evaluemos si existe una relación lineal entre los valores de entrada y salida de la forma:
[tex]\[ y = mx + b \][/tex]
donde [tex]\( y \)[/tex] es el valor de salida, [tex]\( x \)[/tex] es el valor de entrada, [tex]\( m \)[/tex] es la pendiente y [tex]\( b \)[/tex] es la ordenada del origen.
Para dos puntos cualesquiera ([tex]\( x_1, y_1 \)[/tex]) y ([tex]\( x_2, y_2 \)[/tex]) en la tabla, la pendiente se calcula como:
[tex]\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \][/tex]
Tomemos dos puntos: (18.3, 6.1) y (-24, -8). Calculemos la pendiente:
[tex]\[ m = \frac{6.1 - (-8)}{18.3 - (-24)} = \frac{6.1 + 8}{18.3 + 24} = \frac{14.1}{42.3} \approx 0.3333 \][/tex]
Ahora, usemos uno de los puntos para encontrar [tex]\( b \)[/tex]:
[tex]\[ y = mx + b \implies 6.1 = 0.3333 \cdot 18.3 + b \implies 6.1 = 6.1 + b \implies b = 0 \][/tex]
Por lo tanto, la fórmula parece ser:
[tex]\[ y = 0.3333x \][/tex]
### Paso 2: Completar la tabla
Usando la fórmula [tex]\( y = 0.3333x \)[/tex], completamos la tabla:
[tex]\[ \begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \text{Valor de entrada} & -10.5 & -9 & -3 & 0 & 1 & 3 & 9 & 105 \\ \hline \text{Valor de salida} & -3.5 & -3 & -1 & 0 & 0.3333 & 1 & 3 & 35 \\ \hline \end{array} \][/tex]
### Paso 3: Construir la gráfica
Usa los valores completados en la tabla para construir la gráfica en un plano cartesiano.
### Paso 4: Verificar con la calculadora gráfica
Introduce la ecuación [tex]\( y = 0.3333x \)[/tex] en tu calculadora gráfica y compara la gráfica generada con la que construiste a mano para verificar que coincidan.
### Paso 5: Utilizar la tecla TRACE
Responde las preguntas utilizando la calculadora gráfica.
- [tex]\(\text{¿Qué valor tiene } x \text{ cuando } y = A \text{?}\)[/tex] \\
- [tex]\(\text{¿Qué valor tiene } y \text{ cuando } x = 21 \text{?}\)[/tex] \\
[tex]\(y = 0.3333 \cdot 21 \approx 7\)[/tex]
- [tex]\(\text{¿Qué valor tiene } x \text{ cuando } y = 0 \text{?}\)[/tex] \\
[tex]\(x = 0\)[/tex]
### Paso 6: Comentario de la estudiante
La estudiante dice que la gráfica no pasa por el punto (2.7, 0.9). [tex]\(\text{¿Estás de acuerdo?}\)[/tex]
Evaluamos si el punto (2.7, 0.9) está en la gráfica:
[tex]\[ y = 0.3333 \cdot 2.7 = 0.89991 \approx 0.9 \][/tex]
Sí, el punto (2.7, 0.9) está muy cerca de estar en la gráfica. Por lo tanto, la gráfica sí pasa muy cerca de este punto.
Primero, observemos los valores dados en la tabla para encontrar la relación matemática que produce los valores de salida.
[tex]\[ \begin{array}{c|c} \hline \text{Valor de entrada} & \text{Valor de salida} \\ \hline 18.3 & 6.1 \\ 159 & 5.3 \\ 9.6 & 3.2 \\ -24 & -8 \\ \hline \end{array} \][/tex]
Evaluemos si existe una relación lineal entre los valores de entrada y salida de la forma:
[tex]\[ y = mx + b \][/tex]
donde [tex]\( y \)[/tex] es el valor de salida, [tex]\( x \)[/tex] es el valor de entrada, [tex]\( m \)[/tex] es la pendiente y [tex]\( b \)[/tex] es la ordenada del origen.
Para dos puntos cualesquiera ([tex]\( x_1, y_1 \)[/tex]) y ([tex]\( x_2, y_2 \)[/tex]) en la tabla, la pendiente se calcula como:
[tex]\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \][/tex]
Tomemos dos puntos: (18.3, 6.1) y (-24, -8). Calculemos la pendiente:
[tex]\[ m = \frac{6.1 - (-8)}{18.3 - (-24)} = \frac{6.1 + 8}{18.3 + 24} = \frac{14.1}{42.3} \approx 0.3333 \][/tex]
Ahora, usemos uno de los puntos para encontrar [tex]\( b \)[/tex]:
[tex]\[ y = mx + b \implies 6.1 = 0.3333 \cdot 18.3 + b \implies 6.1 = 6.1 + b \implies b = 0 \][/tex]
Por lo tanto, la fórmula parece ser:
[tex]\[ y = 0.3333x \][/tex]
### Paso 2: Completar la tabla
Usando la fórmula [tex]\( y = 0.3333x \)[/tex], completamos la tabla:
[tex]\[ \begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \text{Valor de entrada} & -10.5 & -9 & -3 & 0 & 1 & 3 & 9 & 105 \\ \hline \text{Valor de salida} & -3.5 & -3 & -1 & 0 & 0.3333 & 1 & 3 & 35 \\ \hline \end{array} \][/tex]
### Paso 3: Construir la gráfica
Usa los valores completados en la tabla para construir la gráfica en un plano cartesiano.
### Paso 4: Verificar con la calculadora gráfica
Introduce la ecuación [tex]\( y = 0.3333x \)[/tex] en tu calculadora gráfica y compara la gráfica generada con la que construiste a mano para verificar que coincidan.
### Paso 5: Utilizar la tecla TRACE
Responde las preguntas utilizando la calculadora gráfica.
- [tex]\(\text{¿Qué valor tiene } x \text{ cuando } y = A \text{?}\)[/tex] \\
- [tex]\(\text{¿Qué valor tiene } y \text{ cuando } x = 21 \text{?}\)[/tex] \\
[tex]\(y = 0.3333 \cdot 21 \approx 7\)[/tex]
- [tex]\(\text{¿Qué valor tiene } x \text{ cuando } y = 0 \text{?}\)[/tex] \\
[tex]\(x = 0\)[/tex]
### Paso 6: Comentario de la estudiante
La estudiante dice que la gráfica no pasa por el punto (2.7, 0.9). [tex]\(\text{¿Estás de acuerdo?}\)[/tex]
Evaluamos si el punto (2.7, 0.9) está en la gráfica:
[tex]\[ y = 0.3333 \cdot 2.7 = 0.89991 \approx 0.9 \][/tex]
Sí, el punto (2.7, 0.9) está muy cerca de estar en la gráfica. Por lo tanto, la gráfica sí pasa muy cerca de este punto.
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