Claro, vamos a resolver el problema paso a paso.
Dado el punto [tex]\((1, -6)\)[/tex] y la condición de que el producto de las ordenadas de dos rectas en el origen es [tex]\(1\)[/tex].
Las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto [tex]\((1, -6)\)[/tex] pueden ser de la forma:
[tex]\[ y = a_1x + b_1 \][/tex]
y
[tex]\[ y = a_2x + b_2 \][/tex]
Vamos a encontrar [tex]\(b_1\)[/tex] y [tex]\(b_2\)[/tex].
Utilizando el punto [tex]\((1, -6)\)[/tex]:
Para la primera ecuación:
[tex]\[ -6 = a_1 \cdot 1 + b_1 \][/tex]
[tex]\[ b_1 = -6 - a_1 \][/tex]
Para la segunda ecuación:
[tex]\[ -6 = a_2 \cdot 1 + b_2 \][/tex]
[tex]\[ b_2 = -6 - a_2 \][/tex]
Sabemos que en el origen, [tex]\((0,0)\)[/tex], el producto de las ordenadas (donde [tex]\(x = 0\)[/tex], es decir, [tex]\(y = b_1\)[/tex] y [tex]\(y = b_2\)[/tex]) debe ser [tex]\(1\)[/tex]:
[tex]\[ b_1 \cdot b_2 = 1 \][/tex]
Sustituimos [tex]\(b_1\)[/tex] y [tex]\(b_2\)[/tex]:
[tex]\[ (-6 - a_1)(-6 - a_2) = 1 \][/tex]
Expandimos y simplificamos:
[tex]\[ (36 + 6a_1 + 6a_2 + a_1a_2) = 1 \][/tex]
[tex]\[\Rightarrow 36 + 6a_1 + 6a_2 + a_1a_2 = 1\][/tex]
Reorganizamos para encontrar la relación entre [tex]\(a_1\)[/tex] y [tex]\(a_2\)[/tex]:
[tex]\[ a_1a_2 + 6a_1 + 6a_2 + 35 = 0 \][/tex]
Ahora, despejamos [tex]\(a_2\)[/tex] en términos de [tex]\(a_1\)[/tex]. El resultado final es:
[tex]\[ a_2 = \frac{-6a_1 - 35}{a_1 + 6} \][/tex]
Este es el valor de [tex]\(a_2\)[/tex] en función de [tex]\(a_1\)[/tex] que satisface todas las condiciones dadas.
