Claro, vamos a resolver el problema paso a paso.
Paso 1: Determinar la pendiente de la recta dada.
La forma estándar de la ecuación de la recta es [tex]\(Ax + By + C = 0\)[/tex]. En este caso, [tex]\(A = 3\)[/tex], [tex]\(B = -5\)[/tex], y [tex]\(C = 7\)[/tex].
La pendiente ([tex]\(m\)[/tex]) de una recta en la forma estándar se puede obtener como [tex]\(-\frac{A}{B}\)[/tex]. Por lo tanto:
[tex]\[ m_{\text{dada}} = -\frac{3}{-5} = \frac{3}{5} \][/tex]
Paso 2: Encontrar la pendiente de la recta perpendicular.
La pendiente de una recta perpendicular es el negativo del recíproco de la pendiente de la recta original. Entonces:
[tex]\[ m_{\text{perpendicular}} = -\frac{1}{m_{\text{dada}}} = -\frac{1}{\frac{3}{5}} = -\frac{5}{3} \][/tex]
Paso 3: Utilizar la forma punto-pendiente para obtener la ecuación de la recta perpendicular.
La forma punto-pendiente de una recta es:
[tex]\[ y - y_1 = m(x - x_1) \][/tex]
donde [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] es el punto por el cual pasa la recta (en este caso, [tex]\((-3, 5)\)[/tex]) y [tex]\(m\)[/tex] es la pendiente.
Insertamos nuestros valores:
[tex]\[ y - 5 = -\frac{5}{3}(x + 3) \][/tex]
Paso 4: Simplificar y reordenar la ecuación para obtener la forma estándar.
Primero, distribuimos la pendiente:
[tex]\[ y - 5 = -\frac{5}{3}x - \frac{5}{3} \cdot 3 \][/tex]
[tex]\[ y - 5 = -\frac{5}{3}x - 5 \][/tex]
Luego, añadimos 5 a ambos lados de la ecuación:
[tex]\[ y = -\frac{5}{3}x \][/tex]
Finalmente, para convertir a la forma estándar, multiplicamos toda la ecuación por 3 para eliminar el denominador:
[tex]\[ 3y = -5x \][/tex]
Reordenamos para obtener la forma estándar [tex]\(Ax + By + C = 0\)[/tex]:
[tex]\[ 5x + 3y = 0 \][/tex]
Por lo tanto, la ecuación de la recta perpendicular en la forma estándar es:
[tex]\[ 5x + 3y = 0 \][/tex]
Lo que coincide con los valores [tex]\(A = 5\)[/tex], [tex]\(B = 3\)[/tex] y [tex]\(C = 0\)[/tex].
