Para resolver el problema, vamos a utilizar la relación dada [tex]\( a_{n+1} = 3 a_n - 2 a_{n-1} \)[/tex] y los valores iniciales [tex]\( a_1 = 2 \)[/tex] y [tex]\( a_2 = 3 \)[/tex]. Queremos encontrar el valor de [tex]\( a_4 + a_6 \)[/tex].
Primero, calculemos [tex]\( a_3 \)[/tex]:
[tex]\[
a_3 = 3a_2 - 2a_1
\][/tex]
Sustituyendo [tex]\( a_2 = 3 \)[/tex] y [tex]\( a_1 = 2 \)[/tex]:
[tex]\[
a_3 = 3(3) - 2(2)
\][/tex]
[tex]\[
a_3 = 9 - 4
\][/tex]
[tex]\[
a_3 = 5
\][/tex]
Ahora calculemos [tex]\( a_4 \)[/tex]:
[tex]\[
a_4 = 3a_3 - 2a_2
\][/tex]
Sustituyendo [tex]\( a_3 = 5 \)[/tex] y [tex]\( a_2 = 3 \)[/tex]:
[tex]\[
a_4 = 3(5) - 2(3)
\][/tex]
[tex]\[
a_4 = 15 - 6
\][/tex]
[tex]\[
a_4 = 9
\][/tex]
A continuación, calculamos [tex]\( a_5 \)[/tex]:
[tex]\[
a_5 = 3a_4 - 2a_3
\][/tex]
Sustituyendo [tex]\( a_4 = 9 \)[/tex] y [tex]\( a_3 = 5 \)[/tex]:
[tex]\[
a_5 = 3(9) - 2(5)
\][/tex]
[tex]\[
a_5 = 27 - 10
\][/tex]
[tex]\[
a_5 = 17
\][/tex]
Finalmente, calculemos [tex]\( a_6 \)[/tex]:
[tex]\[
a_6 = 3a_5 - 2a_4
\][/tex]
Sustituyendo [tex]\( a_5 = 17 \)[/tex] y [tex]\( a_4 = 9 \)[/tex]:
[tex]\[
a_6 = 3(17) - 2(9)
\][/tex]
[tex]\[
a_6 = 51 - 18
\][/tex]
[tex]\[
a_6 = 33
\][/tex]
Ahora sumamos [tex]\( a_4 \)[/tex] y [tex]\( a_6 \)[/tex]:
[tex]\[
a_4 + a_6 = 9 + 33
\][/tex]
[tex]\[
a_4 + a_6 = 42
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( a_4 + a_6 \)[/tex] es [tex]\(\boxed{42}\)[/tex].
