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Sagot :
¡Claro! Vamos a plantear y resolver el problema paso a paso.
#### Paso 1: Análisis de la información proporcionada
- Hay dos tipos de platos: frejoles con seco y carapulcra con sopa seca.
- La familia se compone de 6 integrantes, de los cuales 4 comieron frejoles y 2 comieron carapulcra.
- El gasto total fue de [tex]$140. - El precio de la carapulcra es $[/tex]4 más que el precio de los frejoles, y ambos precios son números enteros.
#### Paso 2: Definición de variables
- Sea [tex]\(x\)[/tex] el precio en dólares del plato de frejoles con seco.
- Sea [tex]\(y\)[/tex] el precio en dólares del plato de carapulcra con sopa seca.
#### Paso 3: Planteamiento de ecuaciones
Dado que 4 personas comieron frejoles y 2 personas comieron carapulcra, y el gasto total fue de [tex]$140, tenemos la primera ecuación: \[ 4x + 2y = 140 \] Adicionalmente, sabemos que el precio de la carapulcra fue 4 dólares más que el de los frejoles, lo que nos da la segunda ecuación: \[ y = x + 4 \] Reescribiendo esta última ecuación, obtenemos: \[ y - x = 4 \quad \text{o} \quad y = x + 4 \] #### Paso 4: Verificación del sistema de ecuaciones Comparando con las opciones proporcionadas, buscamos el sistema de ecuaciones que se corresponde con la información planteada. Opción (a): \[ \begin{cases} 4x + 2y = 140 \\ x - y = 4 \end{cases} \] Opción (b): \[ \begin{cases} 4x - 2y = 140 \\ 2x - y = 70 \end{cases} \] Opción (c): \[ \begin{cases} 4x + 2y = 140 \\ y - x = 4 \end{cases} \] Opción (d): \[ \begin{cases} 4x + 2y = 140 \\ 2x + y = 4 \end{cases} \] Podemos observar que la opción (c) coincide con nuestras ecuaciones: \[ \begin{cases} 4x + 2y = 140 \\ y - x = 4 \end{cases} \] Así que la respuesta a la primera pregunta es (c). #### Paso 5: Resolver el sistema de ecuaciones Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones: \[ \begin{cases} 4x + 2y = 140 \\ y - x = 4 \end{cases} \] De la segunda ecuación, despejamos \( y \): \[ y = x + 4 \] Sustituimos \( y \) en la primera ecuación: \[ 4x + 2(x + 4) = 140 \] Simplificamos y resolvemos para \( x \): \[ 4x + 2x + 8 = 140 \\ 6x + 8 = 140 \\ 6x = 132 \\ x = 22 \] Sustituimos \( x \) en la ecuación \( y = x + 4 \): \[ y = 22 + 4 \\ y = 26 \] Por lo tanto, el precio del plato de frejoles con seco es $[/tex]22 y el precio del plato de carapulcra con sopa seca es $26.
#### Paso 6: Verificación de la solución
Comprobamos si los valores obtenidos satisfacen ambas ecuaciones originales:
Primera ecuación:
[tex]\[ 4(22) + 2(26) = 88 + 52 = 140 \][/tex]
Segunda ecuación:
[tex]\[ 26 - 22 = 4 \][/tex]
Ambas ecuaciones se verifican, por lo que la solución es correcta.
Así que el conjunto solución de la situación planteada es [tex]\( x = 22 \)[/tex] y [tex]\( y = 26 \)[/tex].
#### Paso 1: Análisis de la información proporcionada
- Hay dos tipos de platos: frejoles con seco y carapulcra con sopa seca.
- La familia se compone de 6 integrantes, de los cuales 4 comieron frejoles y 2 comieron carapulcra.
- El gasto total fue de [tex]$140. - El precio de la carapulcra es $[/tex]4 más que el precio de los frejoles, y ambos precios son números enteros.
#### Paso 2: Definición de variables
- Sea [tex]\(x\)[/tex] el precio en dólares del plato de frejoles con seco.
- Sea [tex]\(y\)[/tex] el precio en dólares del plato de carapulcra con sopa seca.
#### Paso 3: Planteamiento de ecuaciones
Dado que 4 personas comieron frejoles y 2 personas comieron carapulcra, y el gasto total fue de [tex]$140, tenemos la primera ecuación: \[ 4x + 2y = 140 \] Adicionalmente, sabemos que el precio de la carapulcra fue 4 dólares más que el de los frejoles, lo que nos da la segunda ecuación: \[ y = x + 4 \] Reescribiendo esta última ecuación, obtenemos: \[ y - x = 4 \quad \text{o} \quad y = x + 4 \] #### Paso 4: Verificación del sistema de ecuaciones Comparando con las opciones proporcionadas, buscamos el sistema de ecuaciones que se corresponde con la información planteada. Opción (a): \[ \begin{cases} 4x + 2y = 140 \\ x - y = 4 \end{cases} \] Opción (b): \[ \begin{cases} 4x - 2y = 140 \\ 2x - y = 70 \end{cases} \] Opción (c): \[ \begin{cases} 4x + 2y = 140 \\ y - x = 4 \end{cases} \] Opción (d): \[ \begin{cases} 4x + 2y = 140 \\ 2x + y = 4 \end{cases} \] Podemos observar que la opción (c) coincide con nuestras ecuaciones: \[ \begin{cases} 4x + 2y = 140 \\ y - x = 4 \end{cases} \] Así que la respuesta a la primera pregunta es (c). #### Paso 5: Resolver el sistema de ecuaciones Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones: \[ \begin{cases} 4x + 2y = 140 \\ y - x = 4 \end{cases} \] De la segunda ecuación, despejamos \( y \): \[ y = x + 4 \] Sustituimos \( y \) en la primera ecuación: \[ 4x + 2(x + 4) = 140 \] Simplificamos y resolvemos para \( x \): \[ 4x + 2x + 8 = 140 \\ 6x + 8 = 140 \\ 6x = 132 \\ x = 22 \] Sustituimos \( x \) en la ecuación \( y = x + 4 \): \[ y = 22 + 4 \\ y = 26 \] Por lo tanto, el precio del plato de frejoles con seco es $[/tex]22 y el precio del plato de carapulcra con sopa seca es $26.
#### Paso 6: Verificación de la solución
Comprobamos si los valores obtenidos satisfacen ambas ecuaciones originales:
Primera ecuación:
[tex]\[ 4(22) + 2(26) = 88 + 52 = 140 \][/tex]
Segunda ecuación:
[tex]\[ 26 - 22 = 4 \][/tex]
Ambas ecuaciones se verifican, por lo que la solución es correcta.
Así que el conjunto solución de la situación planteada es [tex]\( x = 22 \)[/tex] y [tex]\( y = 26 \)[/tex].
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