¡Claro! Vamos a plantear y resolver el problema paso a paso.
#### Paso 1: Análisis de la información proporcionada
- Hay dos tipos de platos: frejoles con seco y carapulcra con sopa seca.
- La familia se compone de 6 integrantes, de los cuales 4 comieron frejoles y 2 comieron carapulcra.
- El gasto total fue de [tex]$140.
- El precio de la carapulcra es $[/tex]4 más que el precio de los frejoles, y ambos precios son números enteros.
#### Paso 2: Definición de variables
- Sea [tex]\(x\)[/tex] el precio en dólares del plato de frejoles con seco.
- Sea [tex]\(y\)[/tex] el precio en dólares del plato de carapulcra con sopa seca.
#### Paso 3: Planteamiento de ecuaciones
Dado que 4 personas comieron frejoles y 2 personas comieron carapulcra, y el gasto total fue de [tex]$140, tenemos la primera ecuación:
\[
4x + 2y = 140
\]
Adicionalmente, sabemos que el precio de la carapulcra fue 4 dólares más que el de los frejoles, lo que nos da la segunda ecuación:
\[
y = x + 4
\]
Reescribiendo esta última ecuación, obtenemos:
\[
y - x = 4 \quad \text{o} \quad y = x + 4
\]
#### Paso 4: Verificación del sistema de ecuaciones
Comparando con las opciones proporcionadas, buscamos el sistema de ecuaciones que se corresponde con la información planteada.
Opción (a):
\[
\begin{cases}
4x + 2y = 140 \\
x - y = 4
\end{cases}
\]
Opción (b):
\[
\begin{cases}
4x - 2y = 140 \\
2x - y = 70
\end{cases}
\]
Opción (c):
\[
\begin{cases}
4x + 2y = 140 \\
y - x = 4
\end{cases}
\]
Opción (d):
\[
\begin{cases}
4x + 2y = 140 \\
2x + y = 4
\end{cases}
\]
Podemos observar que la opción (c) coincide con nuestras ecuaciones:
\[
\begin{cases}
4x + 2y = 140 \\
y - x = 4
\end{cases}
\]
Así que la respuesta a la primera pregunta es (c).
#### Paso 5: Resolver el sistema de ecuaciones
Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones:
\[
\begin{cases}
4x + 2y = 140 \\
y - x = 4
\end{cases}
\]
De la segunda ecuación, despejamos \( y \):
\[
y = x + 4
\]
Sustituimos \( y \) en la primera ecuación:
\[
4x + 2(x + 4) = 140
\]
Simplificamos y resolvemos para \( x \):
\[
4x + 2x + 8 = 140 \\
6x + 8 = 140 \\
6x = 132 \\
x = 22
\]
Sustituimos \( x \) en la ecuación \( y = x + 4 \):
\[
y = 22 + 4 \\
y = 26
\]
Por lo tanto, el precio del plato de frejoles con seco es $[/tex]22 y el precio del plato de carapulcra con sopa seca es $26.
#### Paso 6: Verificación de la solución
Comprobamos si los valores obtenidos satisfacen ambas ecuaciones originales:
Primera ecuación:
[tex]\[
4(22) + 2(26) = 88 + 52 = 140
\][/tex]
Segunda ecuación:
[tex]\[
26 - 22 = 4
\][/tex]
Ambas ecuaciones se verifican, por lo que la solución es correcta.
Así que el conjunto solución de la situación planteada es [tex]\( x = 22 \)[/tex] y [tex]\( y = 26 \)[/tex].
