¡Hola! Vamos a resolver este problema paso a paso para determinar la profundidad máxima a la que puede llegar Rui utilizando la función [tex]\( d(x) = \frac{1}{2} x^2 - 10x \)[/tex].
### Paso 1: Determinación del vértice de la parábola
Para encontrar la profundidad máxima, necesitamos determinar el vértice de la parábola. La ecuación para la posición del vértice [tex]\( x \)[/tex] en una parábola de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c \)[/tex] es:
[tex]\[ x_{\text{vértice}} = \frac{-b}{2a} \][/tex]
En la función [tex]\( d(x) = \frac{1}{2} x^2 - 10x \)[/tex]:
- [tex]\( a = \frac{1}{2} \)[/tex]
- [tex]\( b = -10 \)[/tex]
Entonces, sustituyendo estos valores en la fórmula del vértice:
[tex]\[ x_{\text{vértice}} = \frac{-(-10)}{2 \left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{10}{1} = 10 \][/tex]
Por lo que, el valor de [tex]\( x \)[/tex] en el vértice es [tex]\( x = 10 \)[/tex].
### Paso 2: Evaluar la profundidad máxima
Para encontrar la profundidad máxima, evaluamos la función [tex]\( d(x) \)[/tex] en [tex]\( x = 10 \)[/tex]:
[tex]\[ d(10) = \frac{1}{2}(10)^2 - 10 \cdot 10 \][/tex]
Primero calculamos el término al cuadrado:
[tex]\[ (10)^2 = 100 \][/tex]
Luego sustituimos en la función:
[tex]\[ d(10) = \frac{1}{2}(100) - 100 \][/tex]
Resolvemos cada término:
[tex]\[ d(10) = 50 - 100 \][/tex]
[tex]\[ d(10) = -50 \][/tex]
Por lo tanto, la profundidad máxima que puede alcanzar Rui es de -50 metros.
### Conclusión
El vértice de la parábola nos indica que la profundidad máxima se alcanza en [tex]\( x = 10 \)[/tex] segundos, y la profundidad máxima es de -50 metros.
