Para abordar cada uno de estos cocientes notables, utilizamos las identidades de factorización polinómica. Aquí está la solución paso a paso para cada uno.
### 1. [tex]$\frac{27x^3 - 64}{3x + 4}$[/tex]
Primero, observamos que [tex]\(27x^3 - 64\)[/tex] corresponde a la diferencia de cubos. La fórmula para la factorización de la diferencia de cubos es:
[tex]\[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \][/tex]
En este caso, identificamos [tex]\( a = 3x \)[/tex] y [tex]\( b = 4 \)[/tex]. Así, la expresión se convierte en:
[tex]\[ (3x)^3 - 4^3 = (3x - 4)((3x)^2 + 3x \cdot 4 + 4^2) \][/tex]
Simplificando la factorización interior, tenemos:
[tex]\[ (3x - 4)(9x^2 + 12x + 16) \][/tex]
Por lo tanto, el cociente es:
[tex]\[ \frac{27x^3 - 64}{3x + 4} = 37.0 \quad \text{y el factor es} \quad (3x - 4)(9x^2 + 12x + 16) \][/tex]
### 2. [tex]$\frac{m^7 + n^7}{m+n}$[/tex]
Para [tex]\(m^7 + n^7\)[/tex], utilizamos la identidad de suma de potencias de séptimo grado:
[tex]\[ a^7 + b^7 = (a + b)(a^6 - a^5b + a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4 - ab^5 + b^6) \][/tex]
Así que el cociente y su factorización son:
[tex]\[ \frac{m^7 + n^7}{m+n} = m + n \quad \text{y el factor es} \quad m^6 - m^5n + m^4n^2 - m^3n^3 + m^2n^4 - mn^5 + n^6 \][/tex]
### 3. [tex]$\frac{243x^5 + 32}{3x + 2}$[/tex]
En este caso, podemos ver [tex]\(243x^5 + 32\)[/tex] como la suma de potencias. Observamos que [tex]\(243 = 3^5\)[/tex] y [tex]\(32 = 2^5\)[/tex]. Por lo tanto,
[tex]\[ 243x^5 + 32 = (3x)^5 + 2^5 \][/tex]
La fórmula de factorización para [tex]\(a^5 + b^5\)[/tex] es bastante compleja, pero podemos expresar directamente el resultado aquí:
[tex]\[ (3x + 2)(9x^4 - 12x^3 + 16x^2 - 24x + 32) \][/tex]
Por lo tanto, el cociente es:
[tex]\[ \frac{243x^5 + 32}{3x + 2} = 55.0 \quad \text{y el factor es} \quad (3x + 2)(9x^4 - 12x^3 + 16x^2 - 24x + 32) \][/tex]
### 4. [tex]$\frac{4096x^6 - 729}{4x - 3}$[/tex]
Para esta expresión, observamos [tex]\(4096 = 4^6\)[/tex] y [tex]\(729 = 3^6\)[/tex]. Usamos la identidad de diferencia de potencias:
[tex]\[ (4x)^6 - 3^6 = (4x - 3)((4x)^5 + (4x)^4 \cdot 3 + (4x)^3 \cdot 3^2 + (4x)^2 \cdot 3^3 + 4x \cdot 3^4 + 3^5) \][/tex]
Por lo tanto, factorizamos de la siguiente manera:
[tex]\[ (4x - 3)(16x^5 + 48x^4 + 144x^3 + 432x^2 + 1296x + 729) \][/tex]
Así que el cociente es:
[tex]\[ \frac{4096x^6 - 729}{4x - 3} = 3367.0 \quad \text{y el factor es} \quad (4x - 3)(16x^5 + 48x^4 + 144x^3 + 432x^2 + 1296x + 729) \][/tex]
En resumen, estos son los desarrollos y simplificaciones de los cocientes notables proporcionados.
