Claro, vamos a resolver el sistema de ecuaciones paso a paso.
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
1. [tex]\( \frac{a}{b} = \frac{5}{7} \)[/tex]
2. [tex]\( a + b = 48 \)[/tex]
Paso 1: Resolver para una de las variables usando la primera ecuación.
De la primera ecuación:
[tex]\[ \frac{a}{b} = \frac{5}{7} \][/tex]
Podemos multiplicar ambos lados por [tex]\( b \)[/tex] para despejar [tex]\( a \)[/tex]:
[tex]\[ a = \frac{5}{7} b \][/tex]
Paso 2: Sustituir [tex]\( a \)[/tex] en la segunda ecuación.
Ahora sustituimos [tex]\( a = \frac{5}{7} b \)[/tex] en la segunda ecuación:
[tex]\[ a + b = 48 \][/tex]
[tex]\[ \frac{5}{7} b + b = 48 \][/tex]
Paso 3: Simplificar la expresión.
Factorizamos [tex]\( b \)[/tex] en el lado izquierdo:
[tex]\[ \left( \frac{5}{7} + 1 \right) b = 48 \][/tex]
Convertimos 1 a una fracción con el mismo denominador:
[tex]\[ \left( \frac{5}{7} + \frac{7}{7} \right) b = 48 \][/tex]
[tex]\[ \left( \frac{12}{7} \right) b = 48 \][/tex]
Paso 4: Resolver para [tex]\( b \)[/tex].
Multiplicamos ambos lados por el recíproco de [tex]\( \frac{12}{7} \)[/tex]:
[tex]\[ b = 48 \times \frac{7}{12} \][/tex]
[tex]\[ b = 28 \][/tex]
Paso 5: Sustituir [tex]\( b \)[/tex] de vuelta en la ecuación para encontrar [tex]\( a \)[/tex].
Usamos [tex]\( a = \frac{5}{7} b \)[/tex]:
[tex]\[ a = \frac{5}{7} \times 28 \][/tex]
[tex]\[ a = 20 \][/tex]
Paso 6: Calcular [tex]\( b - a \)[/tex].
Con [tex]\( a = 20 \)[/tex] y [tex]\( b = 28 \)[/tex]:
[tex]\[ b - a = 28 - 20 \][/tex]
[tex]\[ b - a = 8 \][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( b - a \)[/tex] es 8.
