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Sagot :
¡Vamos a resolver este problema paso a paso!
### a) Realizar la gráfica que representa la cantidad de agua del depósito como una función del tiempo.
Para este problema, la cantidad de agua en el depósito está dada por los puntos (12, 2000) y (20, 1640), donde el primer valor corresponde a los días y el segundo a la cantidad de agua.
Primero identificamos la ecuación que modela esta situación. La ecuación de la recta tendrá la forma:
[tex]\[ y = mx + b \][/tex]
Para encontrar la pendiente [tex]\(m\)[/tex], usamos la fórmula de la pendiente entre dos puntos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex]:
[tex]\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1640 - 2000}{20 - 12} = \frac{-360}{8} = -45 \][/tex]
Con la pendiente [tex]\(m = -45\)[/tex], usamos el punto [tex]\((12, 2000)\)[/tex] para encontrar el valor de [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[ 2000 = -45(12) + b \][/tex]
[tex]\[ 2000 = -540 + b \][/tex]
[tex]\[ b = 2540 \][/tex]
Entonces, la ecuación es:
[tex]\[ y = -45x + 2540 \][/tex]
### b) ¿En cuántos días se vaciará el depósito?
Para encontrar cuándo se vaciará el depósito, buscamos el punto donde [tex]\(y = 0\)[/tex]:
[tex]\[ 0 = -45x + 2540 \][/tex]
[tex]\[ 45x = 2540 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2540}{45} \approx 56.44 \][/tex]
El depósito se vaciará aproximadamente en 56.44 días.
### c) ¿Qué significado tiene, en el contexto de este problema, la ordenada al origen?
La ordenada al origen [tex]\(b\)[/tex] es el valor de [tex]\(y\)[/tex] cuando [tex]\(x = 0\)[/tex]. En este caso, [tex]\(b = 2540\)[/tex]. Esto significa que al inicio del mes, es decir, el día 0, el depósito tenía 2540 litros de agua. Es la cantidad de agua con la que comienza el depósito antes de empezar a perder agua.
### d) ¿Cuánta agua había en el depósito el día 8 del mes?
Usamos la ecuación de la recta para calcular la cantidad de agua en el día 8:
[tex]\[ y = -45(8) + 2540 \][/tex]
[tex]\[ y = -360 + 2540 \][/tex]
[tex]\[ y = 2180 \][/tex]
El día 8 del mes había 2180 litros de agua en el depósito.
### e) Interpreta el dato que brinda, en este caso, la pendiente de la recta.
La pendiente de la recta [tex]\(m = -45\)[/tex] representa la tasa de cambio de la cantidad de agua en el depósito por día. En este contexto, la pendiente negativa indica que el depósito está perdiendo agua. Específicamente, el depósito pierde 45 litros de agua cada día.
### a) Realizar la gráfica que representa la cantidad de agua del depósito como una función del tiempo.
Para este problema, la cantidad de agua en el depósito está dada por los puntos (12, 2000) y (20, 1640), donde el primer valor corresponde a los días y el segundo a la cantidad de agua.
Primero identificamos la ecuación que modela esta situación. La ecuación de la recta tendrá la forma:
[tex]\[ y = mx + b \][/tex]
Para encontrar la pendiente [tex]\(m\)[/tex], usamos la fórmula de la pendiente entre dos puntos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex]:
[tex]\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1640 - 2000}{20 - 12} = \frac{-360}{8} = -45 \][/tex]
Con la pendiente [tex]\(m = -45\)[/tex], usamos el punto [tex]\((12, 2000)\)[/tex] para encontrar el valor de [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[ 2000 = -45(12) + b \][/tex]
[tex]\[ 2000 = -540 + b \][/tex]
[tex]\[ b = 2540 \][/tex]
Entonces, la ecuación es:
[tex]\[ y = -45x + 2540 \][/tex]
### b) ¿En cuántos días se vaciará el depósito?
Para encontrar cuándo se vaciará el depósito, buscamos el punto donde [tex]\(y = 0\)[/tex]:
[tex]\[ 0 = -45x + 2540 \][/tex]
[tex]\[ 45x = 2540 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{2540}{45} \approx 56.44 \][/tex]
El depósito se vaciará aproximadamente en 56.44 días.
### c) ¿Qué significado tiene, en el contexto de este problema, la ordenada al origen?
La ordenada al origen [tex]\(b\)[/tex] es el valor de [tex]\(y\)[/tex] cuando [tex]\(x = 0\)[/tex]. En este caso, [tex]\(b = 2540\)[/tex]. Esto significa que al inicio del mes, es decir, el día 0, el depósito tenía 2540 litros de agua. Es la cantidad de agua con la que comienza el depósito antes de empezar a perder agua.
### d) ¿Cuánta agua había en el depósito el día 8 del mes?
Usamos la ecuación de la recta para calcular la cantidad de agua en el día 8:
[tex]\[ y = -45(8) + 2540 \][/tex]
[tex]\[ y = -360 + 2540 \][/tex]
[tex]\[ y = 2180 \][/tex]
El día 8 del mes había 2180 litros de agua en el depósito.
### e) Interpreta el dato que brinda, en este caso, la pendiente de la recta.
La pendiente de la recta [tex]\(m = -45\)[/tex] representa la tasa de cambio de la cantidad de agua en el depósito por día. En este contexto, la pendiente negativa indica que el depósito está perdiendo agua. Específicamente, el depósito pierde 45 litros de agua cada día.
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