Para resolver este problema, primero vamos a desglosar la información dada y utilizarla para formar ecuaciones. Sabemos que:
1. La suma de los 5 términos de una progresión geométrica (P.G.) es 155.
2. La suma de los términos en las posiciones pares es 50.
Nombramos el primer término de la progresión como [tex]\(a\)[/tex] y la razón común como [tex]\(r\)[/tex]. Los 5 términos de la progresión geométrica serán: [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(ar\)[/tex], [tex]\(ar^2\)[/tex], [tex]\(ar^3\)[/tex], [tex]\(ar^4\)[/tex].
### Paso 1: Suma de los 5 términos
La suma de los primeros 5 términos es:
[tex]\[ a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 = 155 \][/tex]
### Paso 2: Suma de los términos en posiciones pares
Los términos en las posiciones pares son: [tex]\(ar\)[/tex] y [tex]\(ar^3\)[/tex]. Por lo tanto, la suma de estos términos es:
[tex]\[ ar + ar^3 = 50 \][/tex]
### Paso 3: Plantear las ecuaciones
Tenemos ahora dos ecuaciones a resolver:
1. [tex]\[ a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 = 155 \][/tex]
2. [tex]\[ ar + ar^3 = 50 \][/tex]
### Paso 4: Factorizar la segunda ecuación
Podemos factorizar la segunda ecuación para simplificarla:
[tex]\[ ar (1 + r^2) = 50 \][/tex]
### Paso 5: Buscar soluciones racionales
Para que la suma sea entera, buscamos valores de [tex]\(r\)[/tex] que sean enteros positivos y que solucionen ambas ecuaciones.
### Paso 6: Encontrar la razón [tex]\(r\)[/tex]
Probando diversas razones posibles, encontramos que:
Para [tex]\( r = 2 \)[/tex],
[tex]\[ ar (1 + 4) = 50 \implies 5ar = 50 \implies ar = 10 \][/tex]
Sustituyendo en la primera ecuación:
[tex]\[ a + 2a + 4a + 8a + 16a = 155 \][/tex]
[tex]\[ 31a = 155 \implies a = 5 \][/tex]
Esto cumple con ambas ecuaciones. Luego, la razón común es:
[tex]\[ r = 2 \][/tex]
### Resultado
La razón entera de la progresión geométrica es:
c. [tex]\( \boxed{2} \)[/tex]
