Claro, vamos a resolver este problema paso a paso.
1. Identificar las variables dadas:
- Altura inicial desde la que se deja caer la bola, [tex]\( h = 10 \)[/tex] metros.
- Aceleración debida a la gravedad, [tex]\( g = 10 \, \text{m/s}^2 \)[/tex].
2. Formular la ecuación para el movimiento de caída libre:
Para un objeto que cae libremente desde una altura [tex]\( h \)[/tex], la ecuación que relaciona la altura, la gravedad y el tiempo es:
[tex]\[
h = \frac{1}{2} g t^2
\][/tex]
Aquí, [tex]\( t \)[/tex] es el tiempo que queremos encontrar.
3. Despejar la variable [tex]\( t \)[/tex] en la ecuación:
Primero, multiplicamos ambos lados de la ecuación original por 2 para aislar el término que contiene [tex]\( t^2 \)[/tex]:
[tex]\[
2h = g t^2
\][/tex]
Luego, dividimos ambos lados por [tex]\( g \)[/tex] para despejar [tex]\( t^2 \)[/tex]:
[tex]\[
t^2 = \frac{2h}{g}
\][/tex]
4. Sustituir los valores conocidos:
Reemplazamos [tex]\( h = 10 \)[/tex] metros y [tex]\( g = 10 \, \text{m/s}^2 \)[/tex] en la ecuación:
[tex]\[
t^2 = \frac{2 \cdot 10}{10}
\][/tex]
Simplificamos esta expresión:
[tex]\[
t^2 = \frac{20}{10} = 2
\][/tex]
5. Tomar la raíz cuadrada para encontrar [tex]\( t \)[/tex]:
Para obtener el tiempo [tex]\( t \)[/tex], tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación:
[tex]\[
t = \sqrt{2}
\][/tex]
6. Resultado final:
La raíz cuadrada de 2 es aproximadamente:
[tex]\[
t \approx 1.414
\][/tex]
Por lo tanto, la bola tarda aproximadamente [tex]\( 1.414 \)[/tex] segundos en llegar al suelo desde una altura de 10 metros, considerando que no hay ningún tipo de fricción y que la aceleración debida a la gravedad es [tex]\( 10 \, \text{m/s}^2 \)[/tex].
