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Sagot :
Claro, resolvamos el problema paso a paso.
### a. Calcular el tiempo total del movimiento
1. Fase de aceleración inicial:
El automóvil acelera con una aceleración de [tex]\(a_1 = 1.5 \, \text{m/s}^2\)[/tex] durante un tiempo [tex]\(t_1 = 10 \, \text{s}\)[/tex].
La velocidad final al término de esta fase ([tex]\(v_1\)[/tex]) se obtiene usando la fórmula de la cinemática:
[tex]\[ v_1 = v_0 + a_1 \cdot t_1 \][/tex]
Aquí, [tex]\(v_0 = 0 \, \text{m/s}\)[/tex] porque el automóvil arranca desde el reposo:
[tex]\[ v_1 = 0 + 1.5 \cdot 10 = 15 \, \text{m/s} \][/tex]
2. Fase de velocidad constante:
La velocidad es constante ([tex]\(v_1 = 15 \, \text{m/s}\)[/tex]) durante un tiempo de [tex]\(3 \, \text{min} = 180 \, \text{s}\)[/tex].
3. Fase de frenado:
El automóvil frena con una aceleración de [tex]\(a_{\text{freno}} = -2.5 \, \text{m/s}^2\)[/tex] hasta detenerse:
La velocidad inicial para esta fase es [tex]\(v_1 = 15 \, \text{m/s}\)[/tex], y queremos encontrar el tiempo de frenado [tex]\(t_2\)[/tex] cuando la velocidad final [tex]\(v_2\)[/tex] es [tex]\(0 \, \text{m/s}\)[/tex]:
[tex]\[ v_2 = v_1 + a_{\text{freno}} \cdot t_2 = 0 \][/tex]
Resolviendo para [tex]\(t_2\)[/tex]:
[tex]\[ 0 = 15 - 2.5 \cdot t_2 \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{15}{2.5} = 6 \, \text{s} \][/tex]
4. Tiempo total:
Sumamos los tiempos de cada fase:
[tex]\[ t_{\text{total}} = t_1 + 180 + t_2 = 10 + 180 + 6 = 196 \, \text{s} \][/tex]
### b. Determinar la distancia total recorrida
1. Distancia durante la aceleración inicial ([tex]\(d_1\)[/tex]):
Usamos la fórmula de la cinemática:
[tex]\[ d_1 = v_0 \cdot t_1 + \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot t_1^2 \][/tex]
Aquí, [tex]\(v_0 = 0 \, \text{m/s}\)[/tex]:
[tex]\[ d_1 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot 10^2 = \frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot 100 = 75 \, \text{m} \][/tex]
2. Distancia durante la velocidad constante ([tex]\(d_2\)[/tex]):
[tex]\[ d_2 = v_1 \cdot \text{tiempo de velocidad constante} = 15 \cdot 180 = 2700 \, \text{m} \][/tex]
3. Distancia durante el frenado ([tex]\(d_3\)[/tex]):
Usamos la fórmula de la cinemática:
[tex]\[ d_3 = v_1 \cdot t_2 + \frac{1}{2} \cdot a_{\text{freno}} \cdot t_2^2 \][/tex]
[tex]\[ d_3 = 15 \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot (-2.5) \cdot 6^2 \][/tex]
[tex]\[ d_3 = 90 - \frac{1}{2} \cdot 2.5 \cdot 36 \][/tex]
[tex]\[ d_3 = 90 - 45 = 45 \, \text{m} \][/tex]
4. Distancia total:
Sumamos las distancias de cada fase:
[tex]\[ d_{\text{total}} = d_1 + d_2 + d_3 = 75 + 2700 + 45 = 2820 \, \text{m} \][/tex]
### c. Construcción de los gráficos [tex]$x-t, v-t$[/tex] y [tex]$a-t$[/tex]
1. Gráfico [tex]\(x-t\)[/tex] (posición vs. tiempo):
- Inicialmente, desde [tex]\(t = 0\)[/tex] hasta [tex]\(t = 10\)[/tex] segundos, la posición incrementa cuadráticamente debido a la aceleración.
- Desde [tex]\(t = 10\)[/tex] a [tex]\(t = 190\)[/tex] segundos, la posición incrementa linealmente debido a la velocidad constante de [tex]\(15 \, \text{m/s}\)[/tex].
- Desde [tex]\(t = 190\)[/tex] hasta [tex]\(t = 196\)[/tex] segundos, la pendiente de la posición se reduce linealmente hasta alcanzar el reposo en [tex]\(t = 196\)[/tex] segundos.
2. Gráfico [tex]\(v-t\)[/tex] (velocidad vs. tiempo):
- Desde [tex]\(t = 0\)[/tex] a [tex]\(t = 10\)[/tex] segundos, la velocidad incrementa linealmente desde [tex]\(0\)[/tex] hasta [tex]\(15 \, \text{m/s}\)[/tex].
- Desde [tex]\(t = 10\)[/tex] a [tex]\(t = 190\)[/tex] segundos, la velocidad se mantiene constante en [tex]\(15 \, \text{m/s}\)[/tex].
- Desde [tex]\(t = 190\)[/tex] a [tex]\(t = 196\)[/tex] segundos, la velocidad decrece linealmente desde [tex]\(15 \, \text{m/s}\)[/tex] hasta [tex]\(0 \, \text{m/s}\)[/tex].
3. Gráfico [tex]\(a-t\)[/tex] (aceleración vs. tiempo):
- De [tex]\(t = 0\)[/tex] a [tex]\(t = 10\)[/tex] segundos, la aceleración es constante en [tex]\(1.5 \, \text{m/s}^2\)[/tex].
- De [tex]\(t = 10\)[/tex] a [tex]\(t = 190\)[/tex] segundos, la aceleración es [tex]\(0 \, \text{m/s}^2\)[/tex] (velocidad constante).
- De [tex]\(t = 190\)[/tex] a [tex]\(t = 196\)[/tex] segundos, la aceleración es constante en [tex]\(-2.5 \, \text{m/s}^2\)[/tex].
Estos gráficos representan visualmente el comportamiento del movimiento del automóvil a lo largo del tiempo.
### a. Calcular el tiempo total del movimiento
1. Fase de aceleración inicial:
El automóvil acelera con una aceleración de [tex]\(a_1 = 1.5 \, \text{m/s}^2\)[/tex] durante un tiempo [tex]\(t_1 = 10 \, \text{s}\)[/tex].
La velocidad final al término de esta fase ([tex]\(v_1\)[/tex]) se obtiene usando la fórmula de la cinemática:
[tex]\[ v_1 = v_0 + a_1 \cdot t_1 \][/tex]
Aquí, [tex]\(v_0 = 0 \, \text{m/s}\)[/tex] porque el automóvil arranca desde el reposo:
[tex]\[ v_1 = 0 + 1.5 \cdot 10 = 15 \, \text{m/s} \][/tex]
2. Fase de velocidad constante:
La velocidad es constante ([tex]\(v_1 = 15 \, \text{m/s}\)[/tex]) durante un tiempo de [tex]\(3 \, \text{min} = 180 \, \text{s}\)[/tex].
3. Fase de frenado:
El automóvil frena con una aceleración de [tex]\(a_{\text{freno}} = -2.5 \, \text{m/s}^2\)[/tex] hasta detenerse:
La velocidad inicial para esta fase es [tex]\(v_1 = 15 \, \text{m/s}\)[/tex], y queremos encontrar el tiempo de frenado [tex]\(t_2\)[/tex] cuando la velocidad final [tex]\(v_2\)[/tex] es [tex]\(0 \, \text{m/s}\)[/tex]:
[tex]\[ v_2 = v_1 + a_{\text{freno}} \cdot t_2 = 0 \][/tex]
Resolviendo para [tex]\(t_2\)[/tex]:
[tex]\[ 0 = 15 - 2.5 \cdot t_2 \][/tex]
[tex]\[ t_2 = \frac{15}{2.5} = 6 \, \text{s} \][/tex]
4. Tiempo total:
Sumamos los tiempos de cada fase:
[tex]\[ t_{\text{total}} = t_1 + 180 + t_2 = 10 + 180 + 6 = 196 \, \text{s} \][/tex]
### b. Determinar la distancia total recorrida
1. Distancia durante la aceleración inicial ([tex]\(d_1\)[/tex]):
Usamos la fórmula de la cinemática:
[tex]\[ d_1 = v_0 \cdot t_1 + \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot t_1^2 \][/tex]
Aquí, [tex]\(v_0 = 0 \, \text{m/s}\)[/tex]:
[tex]\[ d_1 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot 10^2 = \frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot 100 = 75 \, \text{m} \][/tex]
2. Distancia durante la velocidad constante ([tex]\(d_2\)[/tex]):
[tex]\[ d_2 = v_1 \cdot \text{tiempo de velocidad constante} = 15 \cdot 180 = 2700 \, \text{m} \][/tex]
3. Distancia durante el frenado ([tex]\(d_3\)[/tex]):
Usamos la fórmula de la cinemática:
[tex]\[ d_3 = v_1 \cdot t_2 + \frac{1}{2} \cdot a_{\text{freno}} \cdot t_2^2 \][/tex]
[tex]\[ d_3 = 15 \cdot 6 + \frac{1}{2} \cdot (-2.5) \cdot 6^2 \][/tex]
[tex]\[ d_3 = 90 - \frac{1}{2} \cdot 2.5 \cdot 36 \][/tex]
[tex]\[ d_3 = 90 - 45 = 45 \, \text{m} \][/tex]
4. Distancia total:
Sumamos las distancias de cada fase:
[tex]\[ d_{\text{total}} = d_1 + d_2 + d_3 = 75 + 2700 + 45 = 2820 \, \text{m} \][/tex]
### c. Construcción de los gráficos [tex]$x-t, v-t$[/tex] y [tex]$a-t$[/tex]
1. Gráfico [tex]\(x-t\)[/tex] (posición vs. tiempo):
- Inicialmente, desde [tex]\(t = 0\)[/tex] hasta [tex]\(t = 10\)[/tex] segundos, la posición incrementa cuadráticamente debido a la aceleración.
- Desde [tex]\(t = 10\)[/tex] a [tex]\(t = 190\)[/tex] segundos, la posición incrementa linealmente debido a la velocidad constante de [tex]\(15 \, \text{m/s}\)[/tex].
- Desde [tex]\(t = 190\)[/tex] hasta [tex]\(t = 196\)[/tex] segundos, la pendiente de la posición se reduce linealmente hasta alcanzar el reposo en [tex]\(t = 196\)[/tex] segundos.
2. Gráfico [tex]\(v-t\)[/tex] (velocidad vs. tiempo):
- Desde [tex]\(t = 0\)[/tex] a [tex]\(t = 10\)[/tex] segundos, la velocidad incrementa linealmente desde [tex]\(0\)[/tex] hasta [tex]\(15 \, \text{m/s}\)[/tex].
- Desde [tex]\(t = 10\)[/tex] a [tex]\(t = 190\)[/tex] segundos, la velocidad se mantiene constante en [tex]\(15 \, \text{m/s}\)[/tex].
- Desde [tex]\(t = 190\)[/tex] a [tex]\(t = 196\)[/tex] segundos, la velocidad decrece linealmente desde [tex]\(15 \, \text{m/s}\)[/tex] hasta [tex]\(0 \, \text{m/s}\)[/tex].
3. Gráfico [tex]\(a-t\)[/tex] (aceleración vs. tiempo):
- De [tex]\(t = 0\)[/tex] a [tex]\(t = 10\)[/tex] segundos, la aceleración es constante en [tex]\(1.5 \, \text{m/s}^2\)[/tex].
- De [tex]\(t = 10\)[/tex] a [tex]\(t = 190\)[/tex] segundos, la aceleración es [tex]\(0 \, \text{m/s}^2\)[/tex] (velocidad constante).
- De [tex]\(t = 190\)[/tex] a [tex]\(t = 196\)[/tex] segundos, la aceleración es constante en [tex]\(-2.5 \, \text{m/s}^2\)[/tex].
Estos gráficos representan visualmente el comportamiento del movimiento del automóvil a lo largo del tiempo.
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