Para resolver el problema de cuántos triángulos rectángulos de catetos enteros existen cuya área es un número de dos cifras [tex]\(\overline{ab}\)[/tex], sigamos estos pasos:
1. Entender las condiciones dadas:
- [tex]\( ab \)[/tex] se refiere al área del triángulo rectángulo cuyos catetos son enteros.
- [tex]\( 11 \cdot \overline{ab} \)[/tex] debe tener [tex]\(2n\)[/tex] divisores.
2. Interpretar datos importantes:
- Se necesita encontrar cuántos triángulos rectángulos existen tal que la multiplicación de sus catetos enteros sobre 2 es una cifra de dos dígitos [tex]\(\overline{ab}\)[/tex].
- [tex]\(\overline{ab}\)[/tex] significa que el área es exactamente [tex]\(\overline{ab}\)[/tex] unidades cuadradas.
3. Analizar la cantidad de divisores:
- [tex]\( \overline{ab} \)[/tex] tiene [tex]\( n \)[/tex] divisores.
- [tex]\( 11 \cdot \overline{ab} \)[/tex] tiene [tex]\( 2n \)[/tex] divisores.
4. Áreas posibles y factores:
- La única cifra de dos dígitos que sigue la condición planteada es exactamente el "1" que es una excepción y coincide con los datos dados.
5. Evaluación de la única solución posible y verificación:
- La solución del problema, tras verificar todas las condiciones y restricciones, se reduce a que la única área válida es:
[tex]\[ 1 \text{ triángulo rectángulo cuyos catetos enteros dan área igual a } \overline{ab}. \][/tex]
6. Resumen y Resultado Final:
- La cantidad de triángulos rectángulos de catetos enteros que cumplen con la condición dada es:
[tex]\[ \boxed{1} \][/tex]
Este análisis muestra que hay exactamente 1 triángulo rectángulo con catetos enteros cuya área es el valor de [tex]\(\overline{ab}\)[/tex] cuando todas las condiciones del problema se cumplen adecuadamente.
