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Sagot :
Claro! Vamos resolver os logaritmos fornecidos passo a passo:
### a) [tex]\(\log_3 9\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_3 9\)[/tex], observe que [tex]\(9\)[/tex] é igual a [tex]\(3^2\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_3 9 = \log_3 (3^2) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos que diz [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_3 (3^2) = 2 \log_3 3 \][/tex]
E sabemos que [tex]\(\log_3 3 = 1\)[/tex]. Portanto:
[tex]\[ 2 \log_3 3 = 2 \cdot 1 = 2 \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_3 9 = 2 \][/tex]
### b) [tex]\(\log_5 \frac{1}{125}\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_5 \frac{1}{125}\)[/tex], observe que [tex]\(\frac{1}{125}\)[/tex] é igual a [tex]\(5^{-3}\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_5 \frac{1}{125} = \log_5 (5^{-3}) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_5 (5^{-3}) = -3 \log_5 5 \][/tex]
E sabemos que [tex]\(\log_5 5 = 1\)[/tex]. Portanto:
[tex]\[ -3 \log_5 5 = -3 \cdot 1 = -3 \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_5 \frac{1}{125} = -3 \][/tex]
### c) [tex]\(\log_{10} \sqrt[5]{1000}\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_{10} \sqrt[5]{1000}\)[/tex], observe que [tex]\(1000 = 10^3\)[/tex] e a raiz quinta de [tex]\(10^3\)[/tex] é [tex]\(10^{3/5}\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_{10} \sqrt[5]{1000} = \log_{10} (10^{3/5}) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_{10} (10^{3/5}) = \frac{3}{5} \log_{10} 10 \][/tex]
E sabemos que [tex]\(\log_{10} 10 = 1\)[/tex]. Portanto:
[tex]\[ \frac{3}{5} \log_{10} 10 = \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5} \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_{10} \sqrt[5]{1000} = \frac{3}{5} \approx 0.6 \][/tex]
### d) [tex]\(\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729}\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729}\)[/tex], observe que [tex]\(729 = 3^6\)[/tex] e a raiz cúbica de [tex]\(3^6\)[/tex] é [tex]\(3^2\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729} = \log_{\frac{1}{3}} (3^2) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_{\frac{1}{3}} (3^2) = 2 \log_{\frac{1}{3}} 3 \][/tex]
Para determinar [tex]\(\log_{\frac{1}{3}} 3\)[/tex], usamos a mudança de base:
[tex]\[ \log_{\frac{1}{3}} 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 \frac{1}{3}} = \frac{1}{-1} = -1 \][/tex]
Portanto:
[tex]\[ 2 \log_{\frac{1}{3}} 3 = 2 \cdot (-1) = -2 \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729} = -2 \][/tex]
### e) [tex]\(\log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64}\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64}\)[/tex], observe que [tex]\(729 = 3^6\)[/tex] e [tex]\(64 = 2^6\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64} = \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3^6}{2^6}\right) = \log_{\frac{2}{3}} \left(\left(\frac{3}{2}\right)^6\right) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_{\frac{2}{3}} \left(\left(\frac{3}{2}\right)^6\right) = 6 \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3}{2}\right) \][/tex]
Para determinar [tex]\(\log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3}{2}\right)\)[/tex], usamos a mudança de base:
[tex]\[ \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{3}{2}\right)}{\log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{2}{3}\right)} = 1 \cdot (-1) = -1 \][/tex]
Portanto:
[tex]\[ 6 \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3}{2}\right) = 6 \cdot (-1) = -6 \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64} = -6 \][/tex]
Resumindo as respostas:
[tex]\[ a) \log_3 9 = 2 \][/tex]
[tex]\[ b) \log_5 \frac{1}{125} = -3 \][/tex]
[tex]\[ c) \log_{10} \sqrt[5]{1000} = 0.6 \][/tex]
[tex]\[ d) \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729} = -2 \][/tex]
[tex]\[ e) \log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64} = -6 \][/tex]
### a) [tex]\(\log_3 9\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_3 9\)[/tex], observe que [tex]\(9\)[/tex] é igual a [tex]\(3^2\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_3 9 = \log_3 (3^2) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos que diz [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_3 (3^2) = 2 \log_3 3 \][/tex]
E sabemos que [tex]\(\log_3 3 = 1\)[/tex]. Portanto:
[tex]\[ 2 \log_3 3 = 2 \cdot 1 = 2 \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_3 9 = 2 \][/tex]
### b) [tex]\(\log_5 \frac{1}{125}\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_5 \frac{1}{125}\)[/tex], observe que [tex]\(\frac{1}{125}\)[/tex] é igual a [tex]\(5^{-3}\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_5 \frac{1}{125} = \log_5 (5^{-3}) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_5 (5^{-3}) = -3 \log_5 5 \][/tex]
E sabemos que [tex]\(\log_5 5 = 1\)[/tex]. Portanto:
[tex]\[ -3 \log_5 5 = -3 \cdot 1 = -3 \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_5 \frac{1}{125} = -3 \][/tex]
### c) [tex]\(\log_{10} \sqrt[5]{1000}\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_{10} \sqrt[5]{1000}\)[/tex], observe que [tex]\(1000 = 10^3\)[/tex] e a raiz quinta de [tex]\(10^3\)[/tex] é [tex]\(10^{3/5}\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_{10} \sqrt[5]{1000} = \log_{10} (10^{3/5}) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_{10} (10^{3/5}) = \frac{3}{5} \log_{10} 10 \][/tex]
E sabemos que [tex]\(\log_{10} 10 = 1\)[/tex]. Portanto:
[tex]\[ \frac{3}{5} \log_{10} 10 = \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5} \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_{10} \sqrt[5]{1000} = \frac{3}{5} \approx 0.6 \][/tex]
### d) [tex]\(\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729}\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729}\)[/tex], observe que [tex]\(729 = 3^6\)[/tex] e a raiz cúbica de [tex]\(3^6\)[/tex] é [tex]\(3^2\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729} = \log_{\frac{1}{3}} (3^2) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_{\frac{1}{3}} (3^2) = 2 \log_{\frac{1}{3}} 3 \][/tex]
Para determinar [tex]\(\log_{\frac{1}{3}} 3\)[/tex], usamos a mudança de base:
[tex]\[ \log_{\frac{1}{3}} 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 \frac{1}{3}} = \frac{1}{-1} = -1 \][/tex]
Portanto:
[tex]\[ 2 \log_{\frac{1}{3}} 3 = 2 \cdot (-1) = -2 \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729} = -2 \][/tex]
### e) [tex]\(\log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64}\)[/tex]
Para calcular [tex]\(\log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64}\)[/tex], observe que [tex]\(729 = 3^6\)[/tex] e [tex]\(64 = 2^6\)[/tex]. Portanto, podemos escrever:
[tex]\[ \log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64} = \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3^6}{2^6}\right) = \log_{\frac{2}{3}} \left(\left(\frac{3}{2}\right)^6\right) \][/tex]
Utilizando a propriedade dos logaritmos [tex]\(\log_b (a^c) = c \log_b a\)[/tex], temos:
[tex]\[ \log_{\frac{2}{3}} \left(\left(\frac{3}{2}\right)^6\right) = 6 \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3}{2}\right) \][/tex]
Para determinar [tex]\(\log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3}{2}\right)\)[/tex], usamos a mudança de base:
[tex]\[ \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{3}{2}\right)}{\log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{2}{3}\right)} = 1 \cdot (-1) = -1 \][/tex]
Portanto:
[tex]\[ 6 \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{3}{2}\right) = 6 \cdot (-1) = -6 \][/tex]
Logo,
[tex]\[ \log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64} = -6 \][/tex]
Resumindo as respostas:
[tex]\[ a) \log_3 9 = 2 \][/tex]
[tex]\[ b) \log_5 \frac{1}{125} = -3 \][/tex]
[tex]\[ c) \log_{10} \sqrt[5]{1000} = 0.6 \][/tex]
[tex]\[ d) \log_{\frac{1}{3}} \sqrt[3]{729} = -2 \][/tex]
[tex]\[ e) \log_{\frac{2}{3}} \frac{729}{64} = -6 \][/tex]
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