Vamos resolver cada problema detalhadamente.
### Questão 7
A expressão numérica é [tex]\(81^{\frac{1}{2}} + 32^{\frac{1}{5}}\)[/tex].
1. Vamos primeiro calcular [tex]\(81^{\frac{1}{2}}\)[/tex]:
- O expoente fracionário [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex] representa a raiz quadrada.
- [tex]\(81^{\frac{1}{2}}\)[/tex] é a raiz quadrada de 81.
[tex]\[
\sqrt{81} = 9
\][/tex]
2. Agora, vamos calcular [tex]\(32^{\frac{1}{5}}\)[/tex]:
- O expoente fracionário [tex]\(\frac{1}{5}\)[/tex] representa a raiz quinta.
- [tex]\(32^{\frac{1}{5}}\)[/tex] é a raiz quinta de 32.
[tex]\[
\sqrt[5]{32} = 2
\][/tex]
3. Somando esses valores:
[tex]\[
9 + 2 = 11
\][/tex]
Portanto, o valor da expressão numérica [tex]\(81^{\frac{1}{2}} + 32^{\frac{1}{5}}\)[/tex] é:
[tex]\[
\boxed{11}
\][/tex]
### Questão 8
Queremos calcular o valor de [tex]\(x + y\)[/tex], dadas as equações:
1. [tex]\(\sqrt{2} + x = 4 \sqrt{2}\)[/tex]
2. [tex]\(\sqrt{3} \cdot y = 5 \sqrt{6}\)[/tex]
Vamos resolver cada equação separadamente.
#### Para [tex]\(x\)[/tex]:
1. Começamos com a equação [tex]\(\sqrt{2} + x = 4 \sqrt{2}\)[/tex].
2. Isolamos [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[
x = 4 \sqrt{2} - \sqrt{2}
\][/tex]
3. Simplificamos subtraindo [tex]\(\sqrt{2}\)[/tex] de [tex]\(4 \sqrt{2}\)[/tex]:
[tex]\[
x = (4 - 1) \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}
\][/tex]
Portanto, temos [tex]\(x = 3 \sqrt{2}\)[/tex].
#### Para [tex]\(y\)[/tex]:
1. Começamos com a equação [tex]\(\sqrt{3} \cdot y = 5 \sqrt{6}\)[/tex].
2. Isolamos [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[
y = \frac{5 \sqrt{6}}{\sqrt{3}}
\][/tex]
3. Simplificamos a fração. Sabemos que [tex]\(\sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 2}\)[/tex], então:
[tex]\[
y = \frac{5 \sqrt{3 \cdot 2}}{\sqrt{3}} = \frac{5 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}}
\][/tex]
4. Cancelamos [tex]\(\sqrt{3}\)[/tex] no numerador e denominador:
[tex]\[
y = 5 \sqrt{2}
\][/tex]
Portanto, temos [tex]\(y = 5 \sqrt{2}\)[/tex].
Agora somamos os valores de [tex]\(x\)[/tex] e [tex]\(y\)[/tex] para encontrar [tex]\(x + y\)[/tex]:
[tex]\[
x + y = 3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}
\][/tex]
Portanto, o valor de [tex]\(x + y\)[/tex] é:
[tex]\[
\boxed{8 \sqrt{2}}
\][/tex]
