Para resolver la ecuación diferencial propuesta [tex]\( 3x \, dx + 4y \, dy = 0 \)[/tex], vamos a proceder con los siguientes pasos:
1. Separación de Variables:
La ecuación ya está escrita de manera que facilita la separación de variables. Queremos agrupar todos los términos que involucren [tex]\( x \)[/tex] con [tex]\( dx \)[/tex], y todos los términos que involucren [tex]\( y \)[/tex] con [tex]\( dy \)[/tex]. La ecuación original es:
[tex]\[ 3x \, dx + 4y \, dy = 0. \][/tex]
2. Reorganización de la Ecuación:
Vamos a mover uno de los términos hacia el otro lado de la ecuación para facilitar la integración posterior. Restando [tex]\( 4y \, dy \)[/tex] de ambos lados obtenemos:
[tex]\[ 3x \, dx = -4y \, dy. \][/tex]
3. Separación Total de Variables:
Ahora, dividimos ambos lados de la ecuación por los términos correspondientes para que cada lado de la ecuación tenga solamente una variable:
[tex]\[ \frac{3x \, dx}{x} = -\frac{4y \, dy}{y}. \][/tex]
Esto se simplifica a:
[tex]\[ 3 \, dx = -\frac{4y \, dy}{x}. \][/tex]
4. Formalización en Términos de [tex]\( \frac{dx}{x} \)[/tex] y [tex]\( \frac{dy}{y} \)[/tex]:
Dividimos ambos lados por sus respectivos términos:
[tex]\[ \frac{3 \, dx}{x} = -\frac{4 \, dy}{y}. \][/tex]
Así separamos las variables para finalmente obtener:
[tex]\[ \frac{dx}{x} = -\frac{4}{3} \frac{dy}{y}. \][/tex]
5. Resultado Final:
En lugar de [tex]\( \frac{4}{3} \)[/tex], podemos expresar esto como una fracción negativa para tener claridad en la separación:
[tex]\[ \frac{dx}{x} + \frac{4}{3}\frac{dy}{y} = 0. \][/tex]
De esta manera, hemos separado las variables correspondientes en ambos lados de la ecuación, listos para proceder a la integración si se requiere:
[tex]\[ 3x + 4y = C, \][/tex]
donde [tex]\( C \)[/tex] es una constante de integración.
