Para encontrar a derivada da função [tex]\( f(x, y) = x^5 + x^{11} + y^6 - y^2 + 1 \)[/tex] com respeito às variáveis [tex]\( x \)[/tex] e [tex]\( y \)[/tex], tomaremos a seguinte abordagem:
Primeiro, derivaremos a função com respeito a [tex]\( x \)[/tex]:
1. A primeira derivada de [tex]\( x^5 \)[/tex] com respeito a [tex]\( x \)[/tex] é [tex]\( 5x^4 \)[/tex].
2. A primeira derivada de [tex]\( x^{11} \)[/tex] com respeito a [tex]\( x \)[/tex] é [tex]\( 11x^{10} \)[/tex].
3. Os termos [tex]\( y^6 \)[/tex], [tex]\(-y^2\)[/tex] e [tex]\( 1 \)[/tex] são constantes em relação a [tex]\( x \)[/tex], então sua derivada é zero.
Portanto, a derivada em relação a [tex]\( x \)[/tex] é:
[tex]\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 5x^4 + 11x^{10} \][/tex]
Em seguida, derivaremos a função com respeito a [tex]\( y \)[/tex]:
1. A primeira derivada de [tex]\( y^6 \)[/tex] com respeito a [tex]\( y \)[/tex] é [tex]\( 6y^5 \)[/tex].
2. A primeira derivada de [tex]\(-y^2 \)[/tex] com respeito a [tex]\( y \)[/tex] é [tex]\(-2y \)[/tex].
3. Os termos [tex]\( x^5 \)[/tex], [tex]\( x^{11} \)[/tex], e [tex]\( 1 \)[/tex] são constantes em relação a [tex]\( y \)[/tex], então sua derivada é zero.
Portanto, a derivada em relação a [tex]\( y \)[/tex] é:
[tex]\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 6y^5 - 2y \][/tex]
Finalmente, combinamos as duas derivadas parciais para obter a derivada total da função:
[tex]\[ f'(x, y) = 5x^4 + 11x^{10} + 6y^5 - 2y \][/tex]
Portanto, a alternativa correta é:
e. [tex]\( f^{\prime}(x) = 5x^4 + 11x^{10} + 6y^5 - 2y \)[/tex]
