Vamos determinar a derivada da função [tex]\( h(x) = 9x^3 - \sqrt{x} + \frac{1}{x^2} \)[/tex].
Primeiramente, vamos separar a função em termos individuais para derivá-los um a um:
[tex]\[ h(x) = 9x^3 - x^{\frac{1}{2}} + x^{-2} \][/tex]
Agora, calculamos a derivada de cada termo separadamente:
1. Para o termo [tex]\( 9x^3 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{d}{dx}(9x^3) = 27x^2 \][/tex]
2. Para o termo [tex]\( -\sqrt{x} = -x^{\frac{1}{2}} \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{d}{dx}(-x^{\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \][/tex]
3. Para o termo [tex]\( \frac{1}{x^2} = x^{-2} \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{d}{dx}(x^{-2}) = -2x^{-3} \][/tex]
Agora, somamos as derivadas:
[tex]\[ h'(x) = 27x^2 - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - 2x^{-3} \][/tex]
Agora, vamos comparar com as alternativas fornecidas:
a. [tex]\( h^{\prime}(x) = 7x^2 - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 2x^3 \)[/tex]
- Não é equivalente, pois os coeficientes e os termos não coincidem.
b. [tex]\( h^{\prime}(x) = 27x^2 - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 2x^4 \)[/tex]
- Não é equivalente, os termos [tex]\( + 2x^4 \)[/tex] não coincidem.
c. [tex]\( h^{\prime}(x) = 27x^2 - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - 2x^{-3} \)[/tex]
- Esta é a correta, já que coincide exatamente os termos e coeficientes.
d. [tex]\( h^{\prime}(x) = 2x^2 + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 2x^3 \)[/tex]
- Não é equivalente, os sinais e os coeficientes não coincidem.
e. [tex]\( h^{\prime}(x) = 2x^2 + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - 2x^{-3} \)[/tex]
- Não é equivalente, pois os coeficientes dos termos estão incorretos.
Assim, a alternativa correta é a c:
[tex]\[ h^{\prime}(x) = 27x^2 - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - 2x^{-3} \][/tex]
Portanto, a resposta correta é:
c. [tex]\( h^{\prime}(x) = 27x^2 - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - 2x^{-3} \)[/tex]
