Claro, vamos a resolver el problema paso a paso.
Paso 1: Identificación de la derivada
Se nos da la derivada de la función [tex]\( f(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f'(x) = 2 + 4x - 3x^2 \][/tex]
Paso 2: Integración de la derivada
Para encontrar la función [tex]\( f(x) \)[/tex], necesitamos integrar la derivada [tex]\( f'(x) \)[/tex]. La integral indefinida de [tex]\( f'(x) \)[/tex] es:
[tex]\[ f(x) = \int (2 + 4x - 3x^2) \, dx \][/tex]
Aplicamos las reglas de integración término a término:
[tex]\[ f(x) = \int 2 \, dx + \int 4x \, dx - \int 3x^2 \, dx \][/tex]
Calculando estas integrales:
[tex]\[ \int 2 \, dx = 2x \][/tex]
[tex]\[ \int 4x \, dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2 \][/tex]
[tex]\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \][/tex]
Entonces, sumando estos términos, obtenemos:
[tex]\[ f(x) = 2x + 2x^2 - x^3 + C \][/tex]
Donde [tex]\( C \)[/tex] es la constante de integración.
Paso 3: Usar la condición inicial
Sabemos que [tex]\( f(2) = 6 \)[/tex]. Usamos esta condición para encontrar el valor de [tex]\( C \)[/tex]. Sustituimos [tex]\( x = 2 \)[/tex] en [tex]\( f(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f(2) = 2(2) + 2(2)^2 - (2)^3 + C \][/tex]
[tex]\[ 6 = 4 + 8 - 8 + C \][/tex]
[tex]\[ 6 = 4 + C \][/tex]
[tex]\[ C = 2 \][/tex]
Paso 4: Sustituir la constante [tex]\( C \)[/tex]
Sustituimos [tex]\( C = 2 \)[/tex] en la expresión general de [tex]\( f(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f(x) = 2x + 2x^2 - x^3 + 2 \][/tex]
Así, la función que cumple con la derivada dada y la condición inicial [tex]\( f(2) = 6 \)[/tex] es:
[tex]\[ f(x) = -x^3 + 2x^2 + 2x + 2 \][/tex]
En resumen, la función [tex]\( f(x) \)[/tex] es:
[tex]\[ f(x) = -x^3 + 2x^2 + 2x + 2 \][/tex]
Y la constante [tex]\( C \)[/tex] es 2.
