Claro, apliquemos las propiedades de la potenciación para determinar si las expresiones son verdaderas o falsas.
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(a) [tex]\(\left(6^2\right)^4 = 6^6\)[/tex]
Usamos la propiedad de las potencias:
[tex]\[
\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}
\][/tex]
En este caso,
[tex]\[
\left(6^2\right)^4 = 6^{2 \cdot 4} = 6^8
\][/tex]
Esto no es igual a [tex]\(6^6\)[/tex]. Por lo tanto, la afirmación es falsa.
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(b) [tex]\(4^3 \cdot 4 = \left(4^3\right)^1\)[/tex]
Primero, simplifiquemos la expresión de la izquierda:
[tex]\[
4^3 \cdot 4 = 4^3 \cdot 4^1 = 4^{3+1} = 4^4
\][/tex]
Comparando con la expresión de la derecha:
[tex]\[
\left(4^3\right)^1 = 4^{3 \cdot 1} = 4^3
\][/tex]
Claramente, [tex]\(4^4\)[/tex] no es igual a [tex]\(4^3\)[/tex]. Por lo tanto, la afirmación es falsa.
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(c) [tex]\(5^3 \cdot 5^3 = \left(5^3\right)^3\)[/tex]
Simplifiquemos la expresión de la izquierda:
[tex]\[
5^3 \cdot 5^3 = 5^{3+3} = 5^6
\][/tex]
Comparando con la expresión de la derecha:
[tex]\[
\left(5^3\right)^3 = 5^{3 \cdot 3} = 5^9
\][/tex]
Aquí vemos que [tex]\(5^6\)[/tex] no es igual a [tex]\(5^9\)[/tex]. Por lo tanto, la afirmación es falsa.
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(d) [tex]\((9+7)^3 = 9^3 + 7^3\)[/tex]
Para este caso, no hay ninguna propiedad de potencias que respalde que la suma de potencias individuales sea equivalente a la potenciación de la suma:
[tex]\[
(9+7)^3 = 16^3
\][/tex]
[tex]\[
9^3 + 7^3 = 729 + 343 = 1072
\][/tex]
Y sabemos que [tex]\(16^3\)[/tex] no es igual a [tex]\(1072\)[/tex]. Por lo tanto, la afirmación es falsa.
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(e) [tex]\((3.5)^2 = 3^2 \cdot 5^2\)[/tex]
La potenciación de un número decimal no puede ser directamente separada ni multiplicada de la manera que indica la afirmación:
[tex]\[
(3.5)^2 \neq 3^2 \cdot 5^2
\][/tex]
Por lo tanto, la afirmación es falsa.
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(f) [tex]\(30^2 : 2^2 = (30 : 2)^2\)[/tex]
Simplifiquemos ambos lados de la ecuación:
[tex]\[
30^2 : 2^2 = \frac{30^2}{2^2} = \frac{900}{4} = 225
\][/tex]
[tex]\[
(30 : 2)^2 = 15^2 = 225
\][/tex]
Ambos lados son iguales. Por lo tanto, la afirmación es verdadera.
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Conclusión:
a) [tex]\(\left(6^2\right)^4 = 6^6\)[/tex] [tex]\(\mathbf{Falso}\)[/tex]
b) [tex]\(4^3 \cdot 4 = \left(4^3\right)^1\)[/tex] [tex]\(\mathbf{Falso}\)[/tex]
c) [tex]\(5^3 \cdot 5^3 = \left(5^3\right)^3\)[/tex] [tex]\(\mathbf{Falso}\)[/tex]
d) [tex]\((9+7)^3 = 9^3 + 7^3\)[/tex] [tex]\(\mathbf{Falso}\)[/tex]
e) [tex]\((3.5)^2 = 3^2 \cdot 5^2\)[/tex] [tex]\(\mathbf{Falso}\)[/tex]
f) [tex]\(30^2 : 2^2 = (30 : 2)^2\)[/tex] [tex]\(\mathbf{Verdadero}\)[/tex]
