Vamos a analizar cada una de las opciones que se nos presentan para determinar cuál es la expresión correcta cuando elevamos un número a una potencia con signo negativo.
### Opción a)
[tex]\[ x^{-3} = \frac{3}{x} \][/tex]
Esta opción es incorrecta. La expresión [tex]\( x^{-3} \)[/tex] significa que debemos tomar el recíproco de [tex]\( x^3 \)[/tex], lo cual se puede escribir como [tex]\( \frac{1}{x^3} \)[/tex]. Por lo tanto, [tex]\( x^{-3} \neq \frac{3}{x} \)[/tex].
### Opción b)
[tex]\[ x^{-1} = \frac{x}{1} \][/tex]
Esta opción también es incorrecta. La expresión [tex]\( x^{-1} \)[/tex] significa que debemos tomar el recíproco de [tex]\( x \)[/tex], escrita correctamente como [tex]\( \frac{1}{x} \)[/tex]. La fracción [tex]\( \frac{x}{1} \)[/tex] simplemente se simplifica a [tex]\( x \)[/tex], lo cual no es lo mismo que [tex]\( x^{-1} \)[/tex].
### Opción c)
[tex]\[ x^{-1} = \frac{1}{x^1} \][/tex]
Esta opción es correcta. La expresión [tex]\( x^{-1} \)[/tex] representa el recíproco de [tex]\( x \)[/tex], escrita como [tex]\( \frac{1}{x} \)[/tex]. Dado que [tex]\( x^1 \)[/tex] es simplemente [tex]\( x \)[/tex], podemos reescribir [tex]\( \frac{1}{x^1} \)[/tex] como [tex]\( \frac{1}{x} \)[/tex], lo cual es correcto.
### Opción d)
[tex]\[ x^{-3} = 3x \][/tex]
Esta opción es incorrecta. Como hemos mencionado antes, [tex]\( x^{-3} \)[/tex] significa que estamos tomando el recíproco de [tex]\( x^3 \)[/tex], escrita correctamente como [tex]\( \frac{1}{x^3} \)[/tex]. La expresión [tex]\( 3x \)[/tex] no tiene ninguna relación con [tex]\( x^{-3} \)[/tex], por lo que es incorrecta.
Por lo tanto, después de analizar todas las opciones, la opción correcta es la:
[tex]\[ c) \, x^{-1} = \frac{1}{x^1} \][/tex]
