Para resolver el problema planteado por el profesor Álvaro, necesitamos encontrar los valores de \( x \) e \( y \) que satisfacen el sistema de ecuaciones dado. Veamos el paso a paso:
1. Sistema de ecuaciones:
[tex]\[
\begin{cases}
2x + y = 13 \quad \text{(Ecuación 1)}\\
x + 3y = 14 \quad \text{(Ecuación 2)}
\end{cases}
\][/tex]
2. Resolver una de las ecuaciones para una de las variables:
A partir de la Ecuación 2, podemos despejar \( x \):
[tex]\[
x = 14 - 3y
\][/tex]
3. Sustituir \( x \) en la Ecuación 1:
Sustituimos \( x = 14 - 3y \) en la Ecuación 1:
[tex]\[
2(14 - 3y) + y = 13
\][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[
28 - 6y + y = 13
\][/tex]
[tex]\[
28 - 5y = 13
\][/tex]
[tex]\[
-5y = 13 - 28
\][/tex]
[tex]\[
-5y = -15
\][/tex]
[tex]\[
y = \frac{15}{5}
\][/tex]
[tex]\[
y = 3
\][/tex]
4. Encontrar el valor de \( x \):
Ahora que tenemos \( y = 3 \), lo sustituimos en la Ecuación 2 para encontrar \( x \):
[tex]\[
x + 3(3) = 14
\][/tex]
[tex]\[
x + 9 = 14
\][/tex]
[tex]\[
x = 14 - 9
\][/tex]
[tex]\[
x = 5
\][/tex]
5. Calcular el producto \( x \cdot y \):
Finalmente, multiplicamos los valores obtenidos:
[tex]\[
x \cdot y = 5 \cdot 3 = 15
\][/tex]
Por lo tanto, los valores de [tex]\( x \)[/tex] e [tex]\( y \)[/tex] son 5 y 3 respectivamente, y el producto [tex]\( x \cdot y \)[/tex] es 15. El número de hermanos en la familia del profesor Álvaro es 15.
