Por supuesto, vamos a resolver el sistema de ecuaciones:
1. \( x = x^2 - 1 \)
2. \( x = 6x \)
Para comenzar, resolveremos cada ecuación por separado y luego determinaremos el conjunto de soluciones.
### Solución de la primera ecuación:
[tex]\[ x = x^2 - 1 \][/tex]
Reordenando la ecuación, obtenemos:
[tex]\[ x^2 - x - 1 = 0 \][/tex]
Esta es una ecuación cuadrática en la forma \(ax^2 + bx + c = 0\).
Para resolver esta ecuación cuadrática, podemos usar la fórmula general:
[tex]\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\][/tex]
Donde:
- \( a = 1 \)
- \( b = -1 \)
- \( c = -1 \)
Sustituyendo estos valores en la fórmula:
[tex]\[
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}
= \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}
= \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
\][/tex]
Por lo tanto, las soluciones de la primera ecuación son:
[tex]\[
x_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
\][/tex]
### Solución de la segunda ecuación:
[tex]\[ x = 6x \][/tex]
Reordenando la ecuación, obtenemos:
[tex]\[ x - 6x = 0 \][/tex]
[tex]\[
-5x = 0
\][/tex]
Dividiendo ambos lados por \(-5\):
[tex]\[
x = 0
\][/tex]
Por lo tanto, la solución de la segunda ecuación es:
[tex]\[
x = 0
\][/tex]
### Conjunto de Soluciones
Las soluciones de las ecuaciones dadas son:
1. Para \( x = x^2 - 1 \):
[tex]\[
x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \quad x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}
\][/tex]
2. Para \( x = 6x \):
[tex]\[
x = 0
\][/tex]
Por lo tanto, el conjunto de soluciones es:
[tex]\[
\left\{ \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, 0 \right\}
\][/tex]
Espero que esta explicación paso a paso te haya sido útil para entender cómo se resolvieron las ecuaciones dadas.
