Para resolver la expresión \(\sqrt[3]{36 x^2 \sqrt{12 x \sqrt{9 x^2}}}\), seguiremos el proceso paso a paso de forma detallada.
### Paso 1: Resolver la expresión más interna
Primero, considera la expresión más interna:
[tex]\[ 9x^2 \][/tex]
### Paso 2: Calcular la raíz cuadrada de la expresión interna
La raíz cuadrada de \(9x^2\) es:
[tex]\[ \sqrt{9x^2} = 3x \][/tex]
### Paso 3: Sustituir y simplificar en el siguiente nivel
Sustituimos \( \sqrt{9x^2} \) en la siguiente expresión:
[tex]\[ 12x \cdot \sqrt{9x^2} \][/tex]
[tex]\[ 12x \cdot 3x = 36x^2 \][/tex]
### Paso 4: Calcular la raíz cuadrada de la nueva expresión
Ahora calculamos la raíz cuadrada de \(36x^2\):
[tex]\[ \sqrt{36x^2} = 6x \][/tex]
### Paso 5: Sustituir en la expresión original
Sustituimos \( \sqrt{12x \cdot \sqrt{9x^2}} \) en la expresión original:
[tex]\[ 36x^2 \cdot \sqrt{36x^2} \][/tex]
[tex]\[ 36x^2 \cdot 6x = 216x^3 \][/tex]
### Paso 6: Calcular la raíz cúbica de la expresión final
Finalmente, calculamos la raíz cúbica de \(216x^3\):
[tex]\[ \sqrt[3]{216x^3} \][/tex]
[tex]\[ \sqrt[3]{216} \cdot \sqrt[3]{x^3} \][/tex]
[tex]\[ 6 \cdot x = 6x \][/tex]
Así, el valor de [tex]\(\sqrt[3]{36 x^2 \sqrt{12 x \sqrt{9 x^2}}}\)[/tex] es [tex]\(\boxed{6x}\)[/tex].
