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Sagot :
Para resolver o sistema de equações [tex]$\left\{\begin{array}{l}x+y=6 \\ x-y=2\end{array}\right.$[/tex] pelo método da adição, seguimos os seguintes passos:
### Passo 1: Alinhamento das Equações
Primeiro, escrevemos as equações de forma alinhada:
[tex]\[ \begin{array}{rcl} x + y &=& 6 \quad \text{(1)} \\ x - y &=& 2 \quad \text{(2)} \\ \end{array} \][/tex]
### Passo 2: Adição das Equações
Somamos as duas equações (1) e (2):
[tex]\[ (x + y) + (x - y) = 6 + 2 \][/tex]
[tex]\[ x + x + y - y = 8 \][/tex]
[tex]\[ 2x = 8 \][/tex]
### Passo 3: Isolamento de \( x \)
Resolvemos para \( x \) dividindo ambos os lados da equação por 2:
[tex]\[ 2x = 8 \][/tex]
[tex]\[ x = 4 \][/tex]
### Passo 4: Substituição do Valor de \( x \)
Substituímos \( x = 4 \) em uma das equações originais para encontrar \( y \). Vamos usar a equação (1):
[tex]\[ x + y = 6 \][/tex]
[tex]\[ 4 + y = 6 \][/tex]
[tex]\[ y = 6 - 4 \][/tex]
[tex]\[ y = 2 \][/tex]
### Solução do Sistema
Portanto, a solução do sistema é:
[tex]\[ x = 4 \quad \text{e} \quad y = 2 \][/tex]
Ou seja, o ponto de interseção das duas retas é \((4, 2)\).
### Representação Gráfica
Agora que resolvemos o sistema, vamos representar graficamente as duas equações.
#### Grafico da Equação \( x + y = 6 \)
Reescrevemos a equação de \( y \) em função de \( x \):
[tex]\[ y = 6 - x \][/tex]
Esta é uma reta que intercepta o eixo \( y \) em 6 (quando \( x = 0 \)) e intercepta o eixo \( x \) em 6 (quando \( y = 0 \)).
#### Grafico da Equação \( x - y = 2 \)
Reescrevemos a equação de \( y \) em função de \( x \):
[tex]\[ y = x - 2 \][/tex]
Esta é uma reta que intercepta o eixo \( y \) em -2 (quando \( x = 0 \)) e tem uma inclinação positiva de 1.
### Desenho das Retas
1. A reta \( x + y = 6 \) vai desde o ponto (6,0) até o ponto (0,6).
2. A reta \( x - y = 2 \) vai desde o ponto (2,0) até o ponto \((x, x - 2)\).
Quando desenhamos estas duas retas em um gráfico, elas se encontram no ponto (4, 2).
### Conclusão
A partir do método da adição, determinamos que a solução do sistema de equações é [tex]\( (x, y) = (4, 2) \)[/tex]. Este ponto também representa a interseção das duas retas dadas pelas equações [tex]\( x + y = 6 \)[/tex] e [tex]\( x - y = 2 \)[/tex] no gráfico.
### Passo 1: Alinhamento das Equações
Primeiro, escrevemos as equações de forma alinhada:
[tex]\[ \begin{array}{rcl} x + y &=& 6 \quad \text{(1)} \\ x - y &=& 2 \quad \text{(2)} \\ \end{array} \][/tex]
### Passo 2: Adição das Equações
Somamos as duas equações (1) e (2):
[tex]\[ (x + y) + (x - y) = 6 + 2 \][/tex]
[tex]\[ x + x + y - y = 8 \][/tex]
[tex]\[ 2x = 8 \][/tex]
### Passo 3: Isolamento de \( x \)
Resolvemos para \( x \) dividindo ambos os lados da equação por 2:
[tex]\[ 2x = 8 \][/tex]
[tex]\[ x = 4 \][/tex]
### Passo 4: Substituição do Valor de \( x \)
Substituímos \( x = 4 \) em uma das equações originais para encontrar \( y \). Vamos usar a equação (1):
[tex]\[ x + y = 6 \][/tex]
[tex]\[ 4 + y = 6 \][/tex]
[tex]\[ y = 6 - 4 \][/tex]
[tex]\[ y = 2 \][/tex]
### Solução do Sistema
Portanto, a solução do sistema é:
[tex]\[ x = 4 \quad \text{e} \quad y = 2 \][/tex]
Ou seja, o ponto de interseção das duas retas é \((4, 2)\).
### Representação Gráfica
Agora que resolvemos o sistema, vamos representar graficamente as duas equações.
#### Grafico da Equação \( x + y = 6 \)
Reescrevemos a equação de \( y \) em função de \( x \):
[tex]\[ y = 6 - x \][/tex]
Esta é uma reta que intercepta o eixo \( y \) em 6 (quando \( x = 0 \)) e intercepta o eixo \( x \) em 6 (quando \( y = 0 \)).
#### Grafico da Equação \( x - y = 2 \)
Reescrevemos a equação de \( y \) em função de \( x \):
[tex]\[ y = x - 2 \][/tex]
Esta é uma reta que intercepta o eixo \( y \) em -2 (quando \( x = 0 \)) e tem uma inclinação positiva de 1.
### Desenho das Retas
1. A reta \( x + y = 6 \) vai desde o ponto (6,0) até o ponto (0,6).
2. A reta \( x - y = 2 \) vai desde o ponto (2,0) até o ponto \((x, x - 2)\).
Quando desenhamos estas duas retas em um gráfico, elas se encontram no ponto (4, 2).
### Conclusão
A partir do método da adição, determinamos que a solução do sistema de equações é [tex]\( (x, y) = (4, 2) \)[/tex]. Este ponto também representa a interseção das duas retas dadas pelas equações [tex]\( x + y = 6 \)[/tex] e [tex]\( x - y = 2 \)[/tex] no gráfico.
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