Answered

Welcome to Westonci.ca, the place where your questions are answered by a community of knowledgeable contributors. Join our Q&A platform to connect with experts dedicated to providing precise answers to your questions in different areas. Get immediate and reliable solutions to your questions from a community of experienced professionals on our platform.

1) Given the equations:
[tex]\[x + y + z = 11\][/tex]
[tex]\[xy + yz + zx = 36\][/tex]
and \(x > y\).

(a) Factorize:
[tex]\[2a^4 - a^2 - 1\][/tex]

(b) Find the value of:
[tex]\[(2x + 3y)^2 + (2y + 3z)^2 + (2z + 3x)^2\][/tex]

(c) Given \(z = 6\), show that:
[tex]\[x^5 - y^5 = 211\][/tex]

Sagot :

GinnyAnswer
আমরা ধাপে ধাপে সমাধানটি করব এবং প্রতিটি বিভাজনের বিস্তারিত ব্যাখ্যা প্রদান করব।

### ১. সমীকরণ সমাধান:
প্রথমে প্রাথমিক সমীকরণগুলো সংক্ষেপিত করি:
[tex]\[x + y + z = 11\][/tex]
[tex]\[xy + yz + zx = 36\][/tex]

\(x > y\) শর্তটিও বিবেচনায় নেব।

### ২. উৎপাদকে বিভাজন:
আমাদের উৎপাদকে বিভাজন করতে হবে [tex]\[2a^4 - a^2 - 1\][/tex]।

3. পুনরায়সংগঠিত সমীকরণ:
[tex]\[ 2a^4 - a^2 - 1 = 0 \][/tex]
ধরুন, \(a^2 = b\), তাহলে সমীকরণটি হয়ে যাবে:
[tex]\[2b^2 - b - 1 = 0\][/tex]

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ, সমাধানের জন্য আমরা বর্জিত স্থিতি ব্যবহার করি:
[tex]\[b = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}\][/tex]
[tex]\[b = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}\][/tex]
[tex]\[b = \frac{1 \pm 3}{4}\][/tex]

যার ফলাফলগুলি হবে:
[tex]\[b = 1\][/tex] বা [tex]\[b = -\frac{1}{2} \][/tex] (যেটি বর্গক্ষেত্রের জন্য প্রযোজ্য নয়)
সুতরাং, আমরা পাই:
[tex]\[a^2 = 1 \][/tex]
[tex]\[a = 1 \][/tex] বা [tex]\[a = -1\][/tex]

মূল সমীকরণগুলি আমরা নমক্ষেত্র করে পাই:

[tex]\[ (a^2 - 1)(2a^2 +1)=0\][/tex]

### ৩. [tex]$(2x + 3y)^2 + (2y + 3z)^2 + (2z + 3x)^2$[/tex] এর মান নির্ণয়:

আমরা দেখি:
[tex]\[ (2x + 3y)^2 + (2y + 3z)^2 + (2z + 3x)^2 = 4x^2 + 9y^2 + 12xy + 4y^2 + 9z^2 + 12yz + 4z^2 + 9x^2 + 12zx \][/tex]
[tex]\[ = 4x^2 + 9x^2 + 4y^2 + 9y^2 + 4z^2 + 9z^2 + 12xy + 12yz + 12zx \][/tex]
[tex]\[ = (4+9)x^2 + (4+9)y^2 + (4+9)z^2 + 12(xy + yz + zx) \][/tex]
[tex]\[ = 13(x^2 + y^2 + z^2) + 12(xy + yz + zx) \][/tex]

[tex]\[x + y + z = 11 \rightarrow (x + y + z)^2 = 121\][/tex]
[tex]\[= x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \rightarrow x^2 + y^2 + z^2 + 236 \rightarrow x^2 + y^2 + z^2 + 72 =121\][/tex]
[tex]\[= x^2 + y^2 + z^2 = 49 \][/tex]

৭.

### ৪. কেস অনুযায়ী \(z\) সমাধান:
পূর্বেই উল্লেখিত \(x + y + z = 11\), আমরা \(z = 6\) রাখি, তাহলে সমীকরণটি হয়:
[tex]\[x + y = 11 - 6 = 5\][/tex]

[tex]\[xy + yz + zx = 36 \rightarrow xy + 6(x + y) = 36 = xy + 65\rightarrow xy=6 \rightarrow xy=6\][/tex]

ধরি \(k=y\rightarrow k^2-5k+6=0\rightarrow k=3, k =2 \]\

\(x=3, y=2\)
### সমাধান (গ):
[tex]\[x^5 - y^5 = 3^5 - 2^5 = 243 - 32 = 211\][/tex]

সুতরাং, আমরা প্রমাণ করতে পেরেছি:

#### (গ):
[tex]\[x^5 - y^5 = 211\][/tex]
We hope our answers were helpful. Return anytime for more information and answers to any other questions you may have. We hope this was helpful. Please come back whenever you need more information or answers to your queries. Thank you for choosing Westonci.ca as your information source. We look forward to your next visit.