Answered

Westonci.ca offers quick and accurate answers to your questions. Join our community and get the insights you need today. Discover in-depth answers to your questions from a wide network of experts on our user-friendly Q&A platform. Experience the convenience of finding accurate answers to your questions from knowledgeable experts on our platform.

1) Given the equations:
[tex]\[x + y + z = 11\][/tex]
[tex]\[xy + yz + zx = 36\][/tex]
and \(x > y\).

(a) Factorize:
[tex]\[2a^4 - a^2 - 1\][/tex]

(b) Find the value of:
[tex]\[(2x + 3y)^2 + (2y + 3z)^2 + (2z + 3x)^2\][/tex]

(c) Given \(z = 6\), show that:
[tex]\[x^5 - y^5 = 211\][/tex]

Sagot :

GinnyAnswer
আমরা ধাপে ধাপে সমাধানটি করব এবং প্রতিটি বিভাজনের বিস্তারিত ব্যাখ্যা প্রদান করব।

### ১. সমীকরণ সমাধান:
প্রথমে প্রাথমিক সমীকরণগুলো সংক্ষেপিত করি:
[tex]\[x + y + z = 11\][/tex]
[tex]\[xy + yz + zx = 36\][/tex]

\(x > y\) শর্তটিও বিবেচনায় নেব।

### ২. উৎপাদকে বিভাজন:
আমাদের উৎপাদকে বিভাজন করতে হবে [tex]\[2a^4 - a^2 - 1\][/tex]।

3. পুনরায়সংগঠিত সমীকরণ:
[tex]\[ 2a^4 - a^2 - 1 = 0 \][/tex]
ধরুন, \(a^2 = b\), তাহলে সমীকরণটি হয়ে যাবে:
[tex]\[2b^2 - b - 1 = 0\][/tex]

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ, সমাধানের জন্য আমরা বর্জিত স্থিতি ব্যবহার করি:
[tex]\[b = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}\][/tex]
[tex]\[b = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}\][/tex]
[tex]\[b = \frac{1 \pm 3}{4}\][/tex]

যার ফলাফলগুলি হবে:
[tex]\[b = 1\][/tex] বা [tex]\[b = -\frac{1}{2} \][/tex] (যেটি বর্গক্ষেত্রের জন্য প্রযোজ্য নয়)
সুতরাং, আমরা পাই:
[tex]\[a^2 = 1 \][/tex]
[tex]\[a = 1 \][/tex] বা [tex]\[a = -1\][/tex]

মূল সমীকরণগুলি আমরা নমক্ষেত্র করে পাই:

[tex]\[ (a^2 - 1)(2a^2 +1)=0\][/tex]

### ৩. [tex]$(2x + 3y)^2 + (2y + 3z)^2 + (2z + 3x)^2$[/tex] এর মান নির্ণয়:

আমরা দেখি:
[tex]\[ (2x + 3y)^2 + (2y + 3z)^2 + (2z + 3x)^2 = 4x^2 + 9y^2 + 12xy + 4y^2 + 9z^2 + 12yz + 4z^2 + 9x^2 + 12zx \][/tex]
[tex]\[ = 4x^2 + 9x^2 + 4y^2 + 9y^2 + 4z^2 + 9z^2 + 12xy + 12yz + 12zx \][/tex]
[tex]\[ = (4+9)x^2 + (4+9)y^2 + (4+9)z^2 + 12(xy + yz + zx) \][/tex]
[tex]\[ = 13(x^2 + y^2 + z^2) + 12(xy + yz + zx) \][/tex]

[tex]\[x + y + z = 11 \rightarrow (x + y + z)^2 = 121\][/tex]
[tex]\[= x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \rightarrow x^2 + y^2 + z^2 + 236 \rightarrow x^2 + y^2 + z^2 + 72 =121\][/tex]
[tex]\[= x^2 + y^2 + z^2 = 49 \][/tex]

৭.

### ৪. কেস অনুযায়ী \(z\) সমাধান:
পূর্বেই উল্লেখিত \(x + y + z = 11\), আমরা \(z = 6\) রাখি, তাহলে সমীকরণটি হয়:
[tex]\[x + y = 11 - 6 = 5\][/tex]

[tex]\[xy + yz + zx = 36 \rightarrow xy + 6(x + y) = 36 = xy + 65\rightarrow xy=6 \rightarrow xy=6\][/tex]

ধরি \(k=y\rightarrow k^2-5k+6=0\rightarrow k=3, k =2 \]\

\(x=3, y=2\)
### সমাধান (গ):
[tex]\[x^5 - y^5 = 3^5 - 2^5 = 243 - 32 = 211\][/tex]

সুতরাং, আমরা প্রমাণ করতে পেরেছি:

#### (গ):
[tex]\[x^5 - y^5 = 211\][/tex]
We appreciate your time on our site. Don't hesitate to return whenever you have more questions or need further clarification. Your visit means a lot to us. Don't hesitate to return for more reliable answers to any questions you may have. Discover more at Westonci.ca. Return for the latest expert answers and updates on various topics.