Answered

Discover the answers you need at Westonci.ca, where experts provide clear and concise information on various topics. Connect with a community of professionals ready to help you find accurate solutions to your questions quickly and efficiently. Connect with a community of professionals ready to provide precise solutions to your questions quickly and accurately.

1) Given the equations:
[tex]\[x + y + z = 11\][/tex]
[tex]\[xy + yz + zx = 36\][/tex]
and \(x > y\).

(a) Factorize:
[tex]\[2a^4 - a^2 - 1\][/tex]

(b) Find the value of:
[tex]\[(2x + 3y)^2 + (2y + 3z)^2 + (2z + 3x)^2\][/tex]

(c) Given \(z = 6\), show that:
[tex]\[x^5 - y^5 = 211\][/tex]

Sagot :

GinnyAnswer
আমরা ধাপে ধাপে সমাধানটি করব এবং প্রতিটি বিভাজনের বিস্তারিত ব্যাখ্যা প্রদান করব।

### ১. সমীকরণ সমাধান:
প্রথমে প্রাথমিক সমীকরণগুলো সংক্ষেপিত করি:
[tex]\[x + y + z = 11\][/tex]
[tex]\[xy + yz + zx = 36\][/tex]

\(x > y\) শর্তটিও বিবেচনায় নেব।

### ২. উৎপাদকে বিভাজন:
আমাদের উৎপাদকে বিভাজন করতে হবে [tex]\[2a^4 - a^2 - 1\][/tex]।

3. পুনরায়সংগঠিত সমীকরণ:
[tex]\[ 2a^4 - a^2 - 1 = 0 \][/tex]
ধরুন, \(a^2 = b\), তাহলে সমীকরণটি হয়ে যাবে:
[tex]\[2b^2 - b - 1 = 0\][/tex]

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ, সমাধানের জন্য আমরা বর্জিত স্থিতি ব্যবহার করি:
[tex]\[b = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}\][/tex]
[tex]\[b = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}\][/tex]
[tex]\[b = \frac{1 \pm 3}{4}\][/tex]

যার ফলাফলগুলি হবে:
[tex]\[b = 1\][/tex] বা [tex]\[b = -\frac{1}{2} \][/tex] (যেটি বর্গক্ষেত্রের জন্য প্রযোজ্য নয়)
সুতরাং, আমরা পাই:
[tex]\[a^2 = 1 \][/tex]
[tex]\[a = 1 \][/tex] বা [tex]\[a = -1\][/tex]

মূল সমীকরণগুলি আমরা নমক্ষেত্র করে পাই:

[tex]\[ (a^2 - 1)(2a^2 +1)=0\][/tex]

### ৩. [tex]$(2x + 3y)^2 + (2y + 3z)^2 + (2z + 3x)^2$[/tex] এর মান নির্ণয়:

আমরা দেখি:
[tex]\[ (2x + 3y)^2 + (2y + 3z)^2 + (2z + 3x)^2 = 4x^2 + 9y^2 + 12xy + 4y^2 + 9z^2 + 12yz + 4z^2 + 9x^2 + 12zx \][/tex]
[tex]\[ = 4x^2 + 9x^2 + 4y^2 + 9y^2 + 4z^2 + 9z^2 + 12xy + 12yz + 12zx \][/tex]
[tex]\[ = (4+9)x^2 + (4+9)y^2 + (4+9)z^2 + 12(xy + yz + zx) \][/tex]
[tex]\[ = 13(x^2 + y^2 + z^2) + 12(xy + yz + zx) \][/tex]

[tex]\[x + y + z = 11 \rightarrow (x + y + z)^2 = 121\][/tex]
[tex]\[= x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \rightarrow x^2 + y^2 + z^2 + 236 \rightarrow x^2 + y^2 + z^2 + 72 =121\][/tex]
[tex]\[= x^2 + y^2 + z^2 = 49 \][/tex]

৭.

### ৪. কেস অনুযায়ী \(z\) সমাধান:
পূর্বেই উল্লেখিত \(x + y + z = 11\), আমরা \(z = 6\) রাখি, তাহলে সমীকরণটি হয়:
[tex]\[x + y = 11 - 6 = 5\][/tex]

[tex]\[xy + yz + zx = 36 \rightarrow xy + 6(x + y) = 36 = xy + 65\rightarrow xy=6 \rightarrow xy=6\][/tex]

ধরি \(k=y\rightarrow k^2-5k+6=0\rightarrow k=3, k =2 \]\

\(x=3, y=2\)
### সমাধান (গ):
[tex]\[x^5 - y^5 = 3^5 - 2^5 = 243 - 32 = 211\][/tex]

সুতরাং, আমরা প্রমাণ করতে পেরেছি:

#### (গ):
[tex]\[x^5 - y^5 = 211\][/tex]
Thank you for trusting us with your questions. We're here to help you find accurate answers quickly and efficiently. We hope you found this helpful. Feel free to come back anytime for more accurate answers and updated information. Get the answers you need at Westonci.ca. Stay informed by returning for our latest expert advice.