আমরা ধাপে ধাপে সমাধানটি করব এবং প্রতিটি বিভাজনের বিস্তারিত ব্যাখ্যা প্রদান করব।
### ১. সমীকরণ সমাধান:
প্রথমে প্রাথমিক সমীকরণগুলো সংক্ষেপিত করি:
[tex]\[x + y + z = 11\][/tex]
[tex]\[xy + yz + zx = 36\][/tex]
\(x > y\) শর্তটিও বিবেচনায় নেব।
### ২. উৎপাদকে বিভাজন:
আমাদের উৎপাদকে বিভাজন করতে হবে [tex]\[2a^4 - a^2 - 1\][/tex]।
3. পুনরায়সংগঠিত সমীকরণ:
[tex]\[ 2a^4 - a^2 - 1 = 0 \][/tex]
ধরুন, \(a^2 = b\), তাহলে সমীকরণটি হয়ে যাবে:
[tex]\[2b^2 - b - 1 = 0\][/tex]
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ, সমাধানের জন্য আমরা বর্জিত স্থিতি ব্যবহার করি:
[tex]\[b = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}\][/tex]
[tex]\[b = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}\][/tex]
[tex]\[b = \frac{1 \pm 3}{4}\][/tex]
যার ফলাফলগুলি হবে:
[tex]\[b = 1\][/tex] বা [tex]\[b = -\frac{1}{2} \][/tex] (যেটি বর্গক্ষেত্রের জন্য প্রযোজ্য নয়)
সুতরাং, আমরা পাই:
[tex]\[a^2 = 1 \][/tex]
[tex]\[a = 1 \][/tex] বা [tex]\[a = -1\][/tex]
মূল সমীকরণগুলি আমরা নমক্ষেত্র করে পাই:
[tex]\[ (a^2 - 1)(2a^2 +1)=0\][/tex]
### ৩. [tex]$(2x + 3y)^2 + (2y + 3z)^2 + (2z + 3x)^2$[/tex] এর মান নির্ণয়:
আমরা দেখি:
[tex]\[ (2x + 3y)^2 + (2y + 3z)^2 + (2z + 3x)^2 = 4x^2 + 9y^2 + 12xy + 4y^2 + 9z^2 + 12yz + 4z^2 + 9x^2 + 12zx \][/tex]
[tex]\[ = 4x^2 + 9x^2 + 4y^2 + 9y^2 + 4z^2 + 9z^2 + 12xy + 12yz + 12zx \][/tex]
[tex]\[ = (4+9)x^2 + (4+9)y^2 + (4+9)z^2 + 12(xy + yz + zx) \][/tex]
[tex]\[ = 13(x^2 + y^2 + z^2) + 12(xy + yz + zx) \][/tex]
[tex]\[x + y + z = 11 \rightarrow (x + y + z)^2 = 121\][/tex]
[tex]\[= x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \rightarrow x^2 + y^2 + z^2 + 236 \rightarrow x^2 + y^2 + z^2 + 72 =121\][/tex]
[tex]\[= x^2 + y^2 + z^2 = 49 \][/tex]
৭.
### ৪. কেস অনুযায়ী \(z\) সমাধান:
পূর্বেই উল্লেখিত \(x + y + z = 11\), আমরা \(z = 6\) রাখি, তাহলে সমীকরণটি হয়:
[tex]\[x + y = 11 - 6 = 5\][/tex]
[tex]\[xy + yz + zx = 36 \rightarrow xy + 6(x + y) = 36 = xy + 65\rightarrow xy=6 \rightarrow xy=6\][/tex]
ধরি \(k=y\rightarrow k^2-5k+6=0\rightarrow k=3, k =2 \]\
\(x=3, y=2\)
### সমাধান (গ):
[tex]\[x^5 - y^5 = 3^5 - 2^5 = 243 - 32 = 211\][/tex]
সুতরাং, আমরা প্রমাণ করতে পেরেছি:
#### (গ):
[tex]\[x^5 - y^5 = 211\][/tex]
