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Sagot :
Para abordar este problema, es necesario analizar las fuerzas debidas a cada una de las cargas en las esquinas del triángulo equilátero actuando sobre la carga \( q_2 = -4 \mu C \).
### Datos y Preparación
1. Cargas:
- \( q_1 = +8 \mu C \)
- \( q_2 = -4 \mu C \)
- \( q_3 = +2 \mu C \)
2. Lado del triángulo:
- \( 80 \, \text{mm} = 80 \times 10^{-3} \, \text{m} = 0.08 \, \text{m} \)
3. Constante de Coulomb:
- \( k = 8.99 \times 10^9 \, \text{N m}^2 / \text{C}^2 \)
### Cálculo de las Fuerzas
Ya que estamos tratando con un triángulo equilátero, todas las distancias entre las cargas son iguales.
1. Fuerza entre \( q_1 \) y \( q_2 \) (F12):
[tex]\[ F_{12} = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \][/tex]
[tex]\[ F_{12} = 8.99 \times 10^9 \cdot \frac{|8 \times 10^{-6} \times (-4 \times 10^{-6})|}{(0.08)^2} \approx 44.95 \, \text{N} \][/tex]
La fuerza \( F_{12} \) actúa hacia \( q_1 \) en una dirección que forma un ángulo de 120° respecto al eje positivo x.
Descomponemos esta fuerza en sus componentes x e y:
[tex]\[ F_{12x} = F_{12} \cos(120^\circ) = -22.475 \, \text{N} \][/tex]
[tex]\[ F_{12y} = F_{12} \sin(120^\circ) = 38.93 \, \text{N} \][/tex]
2. Fuerza entre \( q_2 \) y \( q_3 \) (F23):
[tex]\[ F_{23} = k \frac{|q_2 q_3|}{r^2} \][/tex]
[tex]\[ F_{23} = 8.99 \times 10^9 \cdot \frac{|(-4 \times 10^{-6}) \times 2 \times 10^{-6}|}{(0.08)^2} \approx 11.24 \, \text{N} \][/tex]
La fuerza \( F_{23} \) actúa hacia \( q_3 \) en una dirección que forma un ángulo de 60° respecto al eje positivo x.
Descomponemos esta fuerza en sus componentes x e y:
[tex]\[ F_{23x} = F_{23} \cos(60^\circ) = 5.62 \, \text{N} \][/tex]
[tex]\[ F_{23y} = F_{23} \sin(60^\circ) = 9.73 \, \text{N} \][/tex]
### Suma de las fuerzas
Para encontrar la fuerza resultante sobre \( q_2 \):
[tex]\[ F_{x} = F_{12x} + F_{23x} \][/tex]
[tex]\[ F_{x} = -22.475 + 5.62 = -16.86 \, \text{N} \][/tex]
[tex]\[ F_{y} = F_{12y} + F_{23y} \][/tex]
[tex]\[ F_{y} = 38.93 + 9.73 = 48.66 \, \text{N} \][/tex]
La magnitud de la fuerza resultante es:
[tex]\[ F_r = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \][/tex]
[tex]\[ F_r = \sqrt{(-16.86)^2 + (48.66)^2} \approx 51.50 \, \text{N} \][/tex]
La dirección de la fuerza resultante respecto al eje x positivo es:
[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{F_y}{F_x}\right) \][/tex]
[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{48.66}{-16.86}\right) \approx 109.11^\circ \][/tex]
Si lo convertimos al sistema desde el eje positivo x:
[tex]\[ \theta_{\text{final}} = 360^\circ - 109.11^\circ = 250.89^\circ \][/tex]
Por lo tanto, la magnitud de la fuerza resultante sobre la carga [tex]\( q_2 = -4 \mu C \)[/tex] es aproximadamente [tex]\( 51.50 \, \text{N} \)[/tex] y la dirección es [tex]\( 250.89^\circ \)[/tex].
### Datos y Preparación
1. Cargas:
- \( q_1 = +8 \mu C \)
- \( q_2 = -4 \mu C \)
- \( q_3 = +2 \mu C \)
2. Lado del triángulo:
- \( 80 \, \text{mm} = 80 \times 10^{-3} \, \text{m} = 0.08 \, \text{m} \)
3. Constante de Coulomb:
- \( k = 8.99 \times 10^9 \, \text{N m}^2 / \text{C}^2 \)
### Cálculo de las Fuerzas
Ya que estamos tratando con un triángulo equilátero, todas las distancias entre las cargas son iguales.
1. Fuerza entre \( q_1 \) y \( q_2 \) (F12):
[tex]\[ F_{12} = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \][/tex]
[tex]\[ F_{12} = 8.99 \times 10^9 \cdot \frac{|8 \times 10^{-6} \times (-4 \times 10^{-6})|}{(0.08)^2} \approx 44.95 \, \text{N} \][/tex]
La fuerza \( F_{12} \) actúa hacia \( q_1 \) en una dirección que forma un ángulo de 120° respecto al eje positivo x.
Descomponemos esta fuerza en sus componentes x e y:
[tex]\[ F_{12x} = F_{12} \cos(120^\circ) = -22.475 \, \text{N} \][/tex]
[tex]\[ F_{12y} = F_{12} \sin(120^\circ) = 38.93 \, \text{N} \][/tex]
2. Fuerza entre \( q_2 \) y \( q_3 \) (F23):
[tex]\[ F_{23} = k \frac{|q_2 q_3|}{r^2} \][/tex]
[tex]\[ F_{23} = 8.99 \times 10^9 \cdot \frac{|(-4 \times 10^{-6}) \times 2 \times 10^{-6}|}{(0.08)^2} \approx 11.24 \, \text{N} \][/tex]
La fuerza \( F_{23} \) actúa hacia \( q_3 \) en una dirección que forma un ángulo de 60° respecto al eje positivo x.
Descomponemos esta fuerza en sus componentes x e y:
[tex]\[ F_{23x} = F_{23} \cos(60^\circ) = 5.62 \, \text{N} \][/tex]
[tex]\[ F_{23y} = F_{23} \sin(60^\circ) = 9.73 \, \text{N} \][/tex]
### Suma de las fuerzas
Para encontrar la fuerza resultante sobre \( q_2 \):
[tex]\[ F_{x} = F_{12x} + F_{23x} \][/tex]
[tex]\[ F_{x} = -22.475 + 5.62 = -16.86 \, \text{N} \][/tex]
[tex]\[ F_{y} = F_{12y} + F_{23y} \][/tex]
[tex]\[ F_{y} = 38.93 + 9.73 = 48.66 \, \text{N} \][/tex]
La magnitud de la fuerza resultante es:
[tex]\[ F_r = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \][/tex]
[tex]\[ F_r = \sqrt{(-16.86)^2 + (48.66)^2} \approx 51.50 \, \text{N} \][/tex]
La dirección de la fuerza resultante respecto al eje x positivo es:
[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{F_y}{F_x}\right) \][/tex]
[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{48.66}{-16.86}\right) \approx 109.11^\circ \][/tex]
Si lo convertimos al sistema desde el eje positivo x:
[tex]\[ \theta_{\text{final}} = 360^\circ - 109.11^\circ = 250.89^\circ \][/tex]
Por lo tanto, la magnitud de la fuerza resultante sobre la carga [tex]\( q_2 = -4 \mu C \)[/tex] es aproximadamente [tex]\( 51.50 \, \text{N} \)[/tex] y la dirección es [tex]\( 250.89^\circ \)[/tex].
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