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8. Un profesor tomó un examen muy difícil a sus alumnos y decidió usar una función cuadrática para mejorar el promedio de las calificaciones del salón. Es decir, si la calificación inicial de un estudiante es \( x \), entonces su calificación final es \( f(x) \), donde \( f \) es una función cuadrática. Con esta corrección, las calificaciones de algunos estudiantes cambiaron de la siguiente forma:

\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
& Calificación inicial & Calificación final \\
\hline
José & 0 & 0 \\
\hline
Carlos & 10 & 14 \\
\hline
María & 15 & \\
\hline
Jazmín & 20 & 20 \\
\hline
\end{tabular}

¿Cuál es la calificación final de María?

A) 17 \\
B) 17.5 \\
C) 18 \\
D) 18.5 \\
E) 19

Sagot :

Claro, vamos a resolver el problema paso a paso.

1. Identificación de la forma de la función cuadrática:
La función cuadrática general tiene la forma:
[tex]\[ f(x) = ax^2 + bx + c \][/tex]
donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes que debemos determinar.

2. Formar ecuaciones usando los puntos dados:
A partir de las calificaciones iniciales y finales proporcionadas, podemos formar las siguientes ecuaciones:

Para José, cuya calificación inicial es 0 y calificación final es 0:
[tex]\[ f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 0 \implies c = 0 \][/tex]

Para Carlos, cuya calificación inicial es 10 y calificación final es 14:
[tex]\[ f(10) = a(10)^2 + b(10) + c = 14 \implies 100a + 10b + c = 14 \][/tex]
Dado que \(c = 0\), esta ecuación se simplifica a:
[tex]\[ 100a + 10b = 14 \implies 10a + b = 1.4 \quad \text{(Ecuación 1)} \][/tex]

Para Jazmín, cuya calificación inicial es 20 y calificación final es 20:
[tex]\[ f(20) = a(20)^2 + b(20) + c = 20 \implies 400a + 20b + c = 20 \][/tex]
De nuevo, dado que \(c = 0\), esta ecuación se simplifica a:
[tex]\[ 400a + 20b = 20 \implies 20a + b = 1 \quad \text{(Ecuación 2)} \][/tex]

3. Resolución del sistema de ecuaciones:
Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \begin{cases} 10a + b = 1.4 \quad \text{(Ecuación 1)} \\ 20a + b = 1 \quad \text{(Ecuación 2)} \end{cases} \][/tex]

Restamos la Ecuación 2 de la Ecuación 1:
[tex]\[ (10a + b) - (20a + b) = 1.4 - 1 \][/tex]
[tex]\[ -10a = 0.4 \implies a = -0.04 \][/tex]

Sustituimos \(a\) en la Ecuación 1:
[tex]\[ 10(-0.04) + b = 1.4 \][/tex]
[tex]\[ -0.4 + b = 1.4 \implies b = 1.8 \][/tex]

Entonces, los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) son:
[tex]\[ a = -0.04, \, b = 1.8, \, c = 0 \][/tex]

4. Calcular la calificación final de María:
La calificación inicial de María es 15, así que evaluamos \(f(15)\):
[tex]\[ f(15) = -0.04(15)^2 + 1.8(15) + 0 \][/tex]
[tex]\[ f(15) = -0.04(225) + 1.8(15) \][/tex]
[tex]\[ f(15) = -9 + 27 \][/tex]
[tex]\[ f(15) = 18 \][/tex]

Por lo tanto, la calificación final de María es:
[tex]\[ \boxed{18} \][/tex]