Claro, vamos a resolver cada una de las ecuaciones logarítmicas paso a paso.
### 1. \( 12,000(2)^{\frac{t}{2}} = 60,000 \)
Primero, dividimos ambos lados de la ecuación por 12,000 para simplificar:
[tex]\[ 2^{\frac{t}{2}} = \frac{60,000}{12,000} \][/tex]
[tex]\[ 2^{\frac{t}{2}} = 5 \][/tex]
A continuación, aplicamos el logaritmo base 2 en ambos lados de la ecuación para eliminar la base 2 del exponente:
[tex]\[ \log_2\left(2^{\frac{t}{2}}\right) = \log_2(5) \][/tex]
Usando la propiedad del logaritmo \(\log_b(a^c) = c \log_b(a)\), obtenemos:
[tex]\[ \frac{t}{2} \log_2(2) = \log_2(5) \][/tex]
Sabemos que \(\log_2(2) = 1\), por lo tanto:
[tex]\[ \frac{t}{2} = \log_2(5) \][/tex]
Multiplicamos ambos lados por 2 para despejar \(t\):
[tex]\[ t = 2 \log_2(5) \][/tex]
Así, la solución es:
[tex]\[ t = \frac{2 \log(5)}{\log(2)} \][/tex]
### 2. \( 10,000 e^{0.07 x} = 20,000 \)
Primero, dividimos ambos lados de la ecuación por 10,000:
[tex]\[ e^{0.07 x} = \frac{20,000}{10,000} \][/tex]
[tex]\[ e^{0.07 x} = 2 \][/tex]
Ahora aplicamos el logaritmo natural (\(\ln\)) a ambos lados para eliminar la exponencial:
[tex]\[ \ln\left(e^{0.07 x}\right) = \ln(2) \][/tex]
Usando la propiedad del logaritmo \(\ln(a^c) = c \ln(a)\):
[tex]\[ 0.07 x \ln(e) = \ln(2) \][/tex]
Sabemos que \(\ln(e) = 1\), por lo tanto:
[tex]\[ 0.07 x = \ln(2) \][/tex]
Despejamos \(x\) dividiendo ambos lados por 0.07:
[tex]\[ x = \frac{\ln(2)}{0.07} \][/tex]
Aproximadamente, esto se puede calcular como:
[tex]\[ x \approx 9.902 \][/tex]
### 3. \( \log _4(24x) - \log _4(8) = 3 \)
Usamos la propiedad de los logaritmos \(\log_b(a) - \log_b(c) = \log_b\left(\frac{a}{c}\right)\):
[tex]\[ \log_4\left(\frac{24x}{8}\right) = 3 \][/tex]
Simplificamos el argumento del logaritmo:
[tex]\[ \log_4(3x) = 3 \][/tex]
Para eliminar el logaritmo, convertimos a forma exponencial:
[tex]\[ 4^3 = 3x \][/tex]
Calculamos el valor de \(4^3\):
[tex]\[ 64 = 3x \][/tex]
Finalmente, despejamos \(x\) dividiendo ambos lados por 3:
[tex]\[ x = \frac{64}{3} \][/tex]
### 4. \( \log _4(7x + 1) = 2 \)
Convertimos a forma exponencial para eliminar el logaritmo:
[tex]\[ 4^2 = 7x + 1 \][/tex]
Calculamos el valor de \(4^2\):
[tex]\[ 16 = 7x + 1 \][/tex]
Despejamos \(7x\) restando 1 de ambos lados:
[tex]\[ 15 = 7x \][/tex]
Finalmente, dividimos ambos lados por 7:
[tex]\[ x = \frac{15}{7} \][/tex]
Recapitulando, las soluciones son:
1. \( t = \frac{2 \log(5)}{\log(2)} \)
2. \( x \approx 9.902 \)
3. \( x = \frac{64}{3} \)
4. [tex]\( x = \frac{15}{7} \)[/tex]
