Para resolver este problema, seguiremos estos pasos:
1. Identificar los términos dados:
- Primer término \( a_1 = 9 \)
- Término en la posición n1 \( a_{n1} = 39 \)
- Término en la posición n2 \( a_{n2} = 93 \)
2. Calcular la diferencia común:
La diferencia común \( d \) en una progresión aritmética es constante y se puede calcular restando el primer término del siguiente:
[tex]\[
d = 39 - 9 = 30
\][/tex]
3. Calcular el número de términos entre \( a_1 \) y \( a_{n1} \):
Utilizando la fórmula del término general de una progresión aritmética \( a_n = a_1 + (n-1)d \), podemos determinar el número de términos \( n1 \):
[tex]\[
39 = 9 + (n1 - 1) \cdot 30
\][/tex]
Resolviendo para \( n1 \):
[tex]\[
39 - 9 = (n1 - 1) \cdot 30 \\
30 = (n1 - 1) \cdot 30 \\
n1 - 1 = 1 \\
n1 = 2
\][/tex]
4. Calcular el número de términos entre \( a_{n1} \) y \( a_{n2} \):
Ya que la cantidad de términos entre 39 y 93 es el doble de la cantidad de términos entre 9 y 39:
[tex]\[
n2 = 2 \cdot (n1 - 1) + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3
\][/tex]
5. Calcular el número total de términos entre \( a_1 \) y \( a_{n2} \):
El número total de términos se determina sumando los términos entre \( a_1 \) y \( a_{n1} \) y entre \( a_{n1} \) y \( a_{n2} \), excluyendo el término que se cuenta dos veces (39):
[tex]\[
n_{total} = n1 + n2 - 1 = 2 + 3 - 1 = 4
\][/tex]
6. Calcular la suma total de los términos entre \( a_1 \) y \( a_{n2} \):
Usamos la fórmula de la suma de una progresión aritmética:
[tex]\[
S = \frac{n}{2} \cdot (primer \, término + último \, término)
\][/tex]
En este caso,:
[tex]\[
S_{total} = \frac{n_{total}}{2} \cdot (a_1 + a_{n2}) = \frac{4}{2} \cdot (9 + 93) = 2 \cdot 102 = 204
\][/tex]
Por lo tanto, la suma de los términos de la progresión aritmética es [tex]\( 204 \)[/tex].
