Para resolver la integral \(\int 2 \cdot e^{2x} \, dx\), seguimos los siguientes pasos:
1. Identificar el integrando:
El integrando es \(2 \cdot e^{2x}\).
2. Usar una sustitución:
Vamos a usar una sustitución adecuada. Sea \(u = 2x\). Al derivar ambos lados con respecto a \(x\), obtenemos:
[tex]\[
\frac{du}{dx} = 2 \quad \text{o} \quad dx = \frac{du}{2}
\][/tex]
3. Reescribir la integral:
Utilizando la sustitución anterior, la integral se convierte en:
[tex]\[
\int 2 \cdot e^{2x} \, dx = \int 2 \cdot e^u \cdot \frac{du}{2}
\][/tex]
Simplificando, tenemos:
[tex]\[
\int e^u \, du
\][/tex]
4. Integrar:
Sabemos que la integral de \(e^u\) con respecto a \(u\) es \(e^u\). Entonces:
[tex]\[
\int e^u \, du = e^u + C
\][/tex]
5. Revertir la sustitución:
Finalmente, sustituimos \(u = 2x\) de vuelta en la solución:
[tex]\[
e^u + C = e^{2x} + C
\][/tex]
Por lo tanto, la integral \(\int 2 \cdot e^{2x} \, dx\) es:
[tex]\[
e^{2x} + C
\][/tex]
