Para resolver este problema, primero debemos encontrar la matriz \( -\frac{1}{2} A \) y luego calcular su transpuesta.
La matriz \( A \) que se nos da es:
[tex]\[ A = \left[\begin{array}{rrr} 4 & -2 & -2 \\ -2 & 10 & 2 \\ 2 & 2 & 6 \end{array}\right] \][/tex]
Multiplicamos esta matriz por \( -\frac{1}{2} \):
[tex]\[ -\frac{1}{2} A = -\frac{1}{2} \left[\begin{array}{rrr} 4 & -2 & -2 \\ -2 & 10 & 2 \\ 2 & 2 & 6 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -5 & -1 \\ -1 & -1 & -3 \end{array}\right] \][/tex]
Ahora calculamos la transpuesta de \( -\frac{1}{2} A \). Recordemos que para transponer una matriz, intercambiamos las filas por columnas:
[tex]\[ \left( -\frac{1}{2} A \right)^{\top} = \left[\begin{array}{rrr} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -5 & -1 \\ 1 & -1 & -3 \end{array}\right]^{\top} = \left[\begin{array}{rrr} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -5 & -1 \\ 1 & -1 & -3 \end{array}\right] \][/tex]
Comparando nuestra matriz transpuesta calculada con las opciones dadas, vemos que coincide con la opción:
d. \(\left[\begin{array}{rrr} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -5 & -1 \\ 1 & -1 & -3 \end{array}\right]\)
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d.
