Welcome to Westonci.ca, your ultimate destination for finding answers to a wide range of questions from experts. Experience the ease of finding reliable answers to your questions from a vast community of knowledgeable experts. Get quick and reliable solutions to your questions from a community of experienced experts on our platform.
Sagot :
Para que dos rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a -1. Vamos a determinar la pendiente de cada una de las rectas y luego encontraremos el valor de \( k \) que cumple esta condición.
### Paso 1: Encontrar la pendiente de la segunda recta
La ecuación de la segunda recta es:
[tex]\[ 3x - 2y - 11 = 0 \][/tex]
Para encontrar la pendiente (m) de la recta, reescribimos la ecuación en la forma \( y = mx + b \):
[tex]\[ 3x - 2y = 11 \][/tex]
[tex]\[ -2y = -3x + 11 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{3}{2}x - \frac{11}{2} \][/tex]
La pendiente de esta recta es:
[tex]\[ m_2 = \frac{3}{2} \][/tex]
### Paso 2: Encontrar la pendiente de la primera recta en términos de \( k \)
La ecuación de la primera recta es:
[tex]\[ k^2 x + (k + 1) y + 3 = 0 \][/tex]
De nuevo, reescribimos esta ecuación en la forma \( y = mx + b \):
[tex]\[ (k + 1)y = -k^2 x - 3 \][/tex]
[tex]\[ y = -\frac{k^2}{k+1}x - \frac{3}{k+1} \][/tex]
La pendiente de esta recta es:
[tex]\[ m_1 = -\frac{k^2}{k + 1} \][/tex]
### Paso 3: Establecer la condición de perpendicularidad
Para que las rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a -1:
[tex]\[ m_1 \cdot m_2 = -1 \][/tex]
Sustituyendo los valores de \( m_1 \) y \( m_2 \):
[tex]\[ \left( -\frac{k^2}{k + 1} \right) \cdot \frac{3}{2} = -1 \][/tex]
### Paso 4: Resolver la ecuación
Simplificamos la ecuación para encontrar \( k \):
[tex]\[ -\frac{3k^2}{2(k + 1)} = -1 \][/tex]
[tex]\[ \frac{3k^2}{2(k + 1)} = 1 \][/tex]
[tex]\[ 3k^2 = 2(k + 1) \][/tex]
[tex]\[ 3k^2 = 2k + 2 \][/tex]
[tex]\[ 3k^2 - 2k - 2 = 0 \][/tex]
### Paso 5: Resolver la ecuación cuadrática
Tenemos una ecuación cuadrática de la forma \( ax^2 + bx + c = 0 \):
[tex]\[ 3k^2 - 2k - 2 = 0 \][/tex]
Usamos la fórmula cuadrática \( k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), donde:
- \( a = 3 \)
- \( b = -2 \)
- \( c = -2 \)
Calculamos el discriminante:
[tex]\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(-2) = 4 + 24 = 28 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ k = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{6} \][/tex]
[tex]\[ k = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{6} \][/tex]
[tex]\[ k = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3} \][/tex]
Por lo tanto, los valores de \( k \) son aproximadamente:
[tex]\[ k_1 = 1.2152504370215302 \][/tex]
[tex]\[ k_2 = -0.5485837703548636 \][/tex]
Estos son los valores de [tex]\( k \)[/tex] que hacen que la primera recta sea perpendicular a la segunda recta.
### Paso 1: Encontrar la pendiente de la segunda recta
La ecuación de la segunda recta es:
[tex]\[ 3x - 2y - 11 = 0 \][/tex]
Para encontrar la pendiente (m) de la recta, reescribimos la ecuación en la forma \( y = mx + b \):
[tex]\[ 3x - 2y = 11 \][/tex]
[tex]\[ -2y = -3x + 11 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{3}{2}x - \frac{11}{2} \][/tex]
La pendiente de esta recta es:
[tex]\[ m_2 = \frac{3}{2} \][/tex]
### Paso 2: Encontrar la pendiente de la primera recta en términos de \( k \)
La ecuación de la primera recta es:
[tex]\[ k^2 x + (k + 1) y + 3 = 0 \][/tex]
De nuevo, reescribimos esta ecuación en la forma \( y = mx + b \):
[tex]\[ (k + 1)y = -k^2 x - 3 \][/tex]
[tex]\[ y = -\frac{k^2}{k+1}x - \frac{3}{k+1} \][/tex]
La pendiente de esta recta es:
[tex]\[ m_1 = -\frac{k^2}{k + 1} \][/tex]
### Paso 3: Establecer la condición de perpendicularidad
Para que las rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a -1:
[tex]\[ m_1 \cdot m_2 = -1 \][/tex]
Sustituyendo los valores de \( m_1 \) y \( m_2 \):
[tex]\[ \left( -\frac{k^2}{k + 1} \right) \cdot \frac{3}{2} = -1 \][/tex]
### Paso 4: Resolver la ecuación
Simplificamos la ecuación para encontrar \( k \):
[tex]\[ -\frac{3k^2}{2(k + 1)} = -1 \][/tex]
[tex]\[ \frac{3k^2}{2(k + 1)} = 1 \][/tex]
[tex]\[ 3k^2 = 2(k + 1) \][/tex]
[tex]\[ 3k^2 = 2k + 2 \][/tex]
[tex]\[ 3k^2 - 2k - 2 = 0 \][/tex]
### Paso 5: Resolver la ecuación cuadrática
Tenemos una ecuación cuadrática de la forma \( ax^2 + bx + c = 0 \):
[tex]\[ 3k^2 - 2k - 2 = 0 \][/tex]
Usamos la fórmula cuadrática \( k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), donde:
- \( a = 3 \)
- \( b = -2 \)
- \( c = -2 \)
Calculamos el discriminante:
[tex]\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(-2) = 4 + 24 = 28 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ k = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{6} \][/tex]
[tex]\[ k = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{6} \][/tex]
[tex]\[ k = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3} \][/tex]
Por lo tanto, los valores de \( k \) son aproximadamente:
[tex]\[ k_1 = 1.2152504370215302 \][/tex]
[tex]\[ k_2 = -0.5485837703548636 \][/tex]
Estos son los valores de [tex]\( k \)[/tex] que hacen que la primera recta sea perpendicular a la segunda recta.
Thanks for using our service. We're always here to provide accurate and up-to-date answers to all your queries. We hope our answers were useful. Return anytime for more information and answers to any other questions you have. Find reliable answers at Westonci.ca. Visit us again for the latest updates and expert advice.